Konvergenz von Reihen Σ n/(4n+1)

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{n}{4^n+1}} \)

Quotientenkriterium:

$$ \left| \frac { a n + 1 } { a n }\right| = \frac{n+1}{4·4^n + 1} · \frac{4^n + 1}{n} = ... $$

Was sind die Zwischenschritte bis man auf die Gleichung kommt bzw. wie kommt man drauf ? Denn so wie ich es sehe, wurden ein paar Schritte rausgelassen.

Ich weiß, welche Kriterien ich benutzen muss bei der Untersuchung der Konvergenz usw. Das Problem ist , dass ich von vollständigen Beispielen lernen kann und dieses hier ist es eben nicht. Wie kommt man auf die Zahl (im Nenner) 4*4^n bzw. wieso 4 mal?

Answer 1

a _n+1 /  a_n

=   (  n+1 / ( 4ⁿ⁺¹ + 1 ) )        /    (     n / ( 4^n  + 1 )  )

weil du ja erst überall n+1 statt  n einsetzen musst und dann

durch an  wie es in der Summe steht. Aber das war dir

ja eh klar.

mit Kehrwert malnehmen gibt erst mal

=   (  n+1 / ( 4ⁿ⁺¹ + 1 ) )       *   (    ( 4^n  + 1 ) /  n  )

und 4ⁿ⁺¹  sind ja n+1 Faktoren von der 4, also einer mehr als 4^n .

oder vielleicht kennst du auch Potenzgesetzt

x^n * x^1 = x ⁿ⁺¹   

also ist      4ⁿ⁺¹ = 4*  4ⁿ

ok ?