Differenzierbarkeit Hilfe

Question

Hallo benötige Hilfe bei dieser Aufgabe:

$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \longmapsto \begin{cases} \frac{1}{4} x^2 &, x > 0 \\ \frac{1}{2} x &, x \leq 0 \end{cases} $$

Aufgabe:

Untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie an den differnzierbaren Stellen die Ableitung

Heißt doch ich muss den rechtsseitgen grenzwert für 1/4 x^2 bestimmen und den linken für 1/2 x mit der formel:

lim x-->x0  (f(x)-f(x0))/x-x0

oder?

Heißt das einfach wenn man beide ableiten kann ist die Funktion differenzierbar, ist die Ableitung der Grenzwert?

also rechts 1/2 x

und links 1/2 ?

Dann müsste man rechts ja aber zweimal ableiten damit es stimmt!?Bin noch bisschen verwirrt.

Edit (Yakyu): Formel bearbeitet, so dass sie korrekt dargestellt wird.

Answer 1

Eine Funktion wie diese, die gebietsweise definiert ist und auf allen Teilintervallen differenzierbar ist, muss tatsächlich nur noch an den Gebietsgrenzen auf Differenzierbarkeit überprüft werden, also in deinem Fall bei x=0. Der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x sind soweit richtig, aber du interessierst dich ja für den Grenzwert an der Stelle Null. Also musst du in deine Ergebnisse, 0.5 und 0.5x noch x=0 setzen.

Edit: Genauer ist es so, dass sowohl die Grenzwerte der Teilfunktionen als auch die ihrer Ableitungen an den Intervallgrenzen gleich sein müssen, sonst hast du zwar gleiche Steigung, aber keine Stetigkeit. Aber weil in Null beide Funktionen Null sind, ist das nicht das Problem.