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ich muss die Ungleichung ln(x)>=1-1/x umstellen

Normal würde ich den ln auf eine Seite bringen (ist er schon) dann mit der e Funktion arbeiten und auf X auflösen.

Aber da ich auf der anderen Seite ein -1/x habe bekomme ich ja

x>=e^{1-1/x}.

Das ist dann irgendwie schlecht denke ich ^^. Wie bekomme ich das aufgelöst?
von

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Beste Antwort
Hi,

probiere es so:

 

ln(x)>=1-1/x

0≥1-1/x-ln(x)

Das betrachte nun als Funktion:

f(x)=1-1/x-ln(x)

f'(x)=(1-x)/x^2

f''(x)=(x-2)/x^3

 

Das heißt der einzige Extrempunkt, liegt bei f'(x)=0 -> x=1.
Dieser ist ein Maximum (f''(1)>0).
Da nun aber f(1)=0 ist, aber auch ein Maximum, gibt es keinen Wert der größer 0 ist.

 

Folglich ist 0≥1-1/x-ln(x) erfüllt und damit auch

ln(x)≥1-1/x

 

Alles klar?

 

Grüße
von 140 k 🚀

Ah okay, ja das ist natürlich eine Klasse Idee :D.

Ich bin das mal so angegangen inzwischen, stimmt das so eigentlich auch? (Abgesehen davon, das es wohl nicht all zu elegant ist ^^)

 

Ich hoffe man kann das einigermaßen lesen.

Und danke für die schnelle Antwort !!

Ja, das ist auch richtig, soweit ich das sehen kann ;).

Kannst Dir ja eine Variante raussuchen.

Alles klar, super :D. Dankeschön.

Aber ich glaube mit deiner Variante gehts schneller ;-)

Was aber, wenn f´´(x)=0 also Wendepunkt ist?.

Bei solch einer Aufgabe bin ich gerade.

Das zeigt uns nun, dass die Aussage

(x+1)ln(x)≥2x-2 für x>0 nicht erfüllt ist.

 

In der Tat ist das wohl nur für x≥1 erfüllt.

 

Probe mit x=0,5:

1,5*ln(0,5)=-1,04-1=2*0,5-2

 

;)

 

Achso,

also ist es zulässig das ich dann einfach einen Wert >= 1 einsetze und zeige das es ab dann gilt.

Also eine Mischung der beiden Lösungswege.

 
Nein, das alleine reicht nicht.

Habe nur einen Wert eingesetzt, um Dir zu zeigen, dass die Behauptung x<1 gehört nicht zum erlauchten Kreis, nicht an den Haaren herbeigezogen ist^^.

Ansonsten ist aber "Werte einsetzen" sehr unmathematisch. Zumal wir nicht mal Monotonie gezeigt hatten^^.

 

 

 

Wenn wir x≥1 verlangen, ist der Wendepunkt/Sattelpunkt ein Randpunkt. Er kann nun als Extrempunkt betrachtet werden und vorherige Aussage gilt.

 

 

Sprich, wenn x>0 gegeben ist, ist obige Ungleichung falsch.

Ist x≥1 verlangt, oder man darf die Definitionsmenge entsprechend angleichen, passt unsere Argumentation wieder, die wir hergeleitet/erbastelt haben ;).
Achso ja stimmt.

 , das hat mir sehr geholfen!!

und einen schönen Abend noch :)

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