Überprüfen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

Kann mir jemand einen Lösungsansatz zu a) geben? Stehe wieder mal auf dem Schlauch :(

Answer 1

Tipp zu a): \( \frac{k}{2k+4} \leq \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}, \forall k \in \mathbb{N} \).

Tipps zu den restlichen Aufgaben:

b) Quotientenkriterium und die Definition von \(e\).

c) \(\sqrt{k+1}-\sqrt{k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \geq \frac{1}{2k+1} \).

d) \( \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \geq \frac{1}{n} \)..

e) Leibniz-Kritierium für Konvergenz. Reihe konvergiert nicht absolut, Minorante finden wie in c).

f) Reihe konvergiert nicht absolut (harmonische Reihe). Was die Konvergenz betrifft: Schreibe die Reihen als 2 Reihen (Realteil und Imaginärteil) und verwende das Leibniz-Kriterium.

Gruß

Comments

Hmm... hilft mir irgendwie nicht ganz weiter. Was hast du genau genau gemacht bzw. wofür soll das nützlich sein?

MfG

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Zum zeigen der (absoluten) Konvergenz. Mit Hilfe dieser Abschätzung gilt:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{k}{2k+4} \right)^k \leq \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^k $$

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Also ich habe jetzt mal den Grenzwert für beide Reihen betrachtet und der ist gleich Null.

Was soll ich jetzt als nächstes machen?

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Das sind Reihen und keine Folgen. Der Grenzwert ist sicherlich nicht 0.Die rechte Summe konvergiert (schau dir mal an was eine geometrische Reihe ist).
Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch die linke Seite.
Da alle Summanden positiv sind konvergiert die Reihe auch absolut.