Zeigen: lim x→±∞ ^n√(a^n + b^n) = a für reelle Zahlen a≥b≥0

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:



gewünscht ist eine formale Lösung, ueber dich ich mich sehr freuen wuerde.

Ich wuensche einen schoenen Tag.

Comments

Schau schon mal hier:

https://www.mathelounge.de/288973/zeigen-dass-eine-folge-gegen-5-konvergiert#a290509

Der Fall a = b ist dort aber noch nicht explizit vorhanden.

Aber ^n√2 → 1. Daher ok.

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Vom Duplikat:

Titel: lim n↦∞ n√an + bn = a für reelle Zahlen a >= b >= 0

Stichworte: folge,grenzwert,limes

n,

ich verzweifel an foldender Aufgabe:

Zeigen Sie: lim n↦∞ ⁿ√an + bn = a  für reelle Zahlen a >= b >= 0

Answer 1

ⁿ√(a^n + b^n) für a≥b≥0

= ⁿ√(a^n*(1 + b^n/a^n))

= a* ⁿ√(1 + (b/a)^n)   für hinreichend großes n

a ≤ a* ⁿ√(1 + (b/a)^n)  ≤ a* ⁿ√2   

also gehen alle drei gegen a.