Punktmenge mit konstantem Abstandverhältnis von zwei gegebenen Punkten in der Ebene?

Question

Gegeben sind zwei verschiedene Punkte A ungleich B in der Ebene. Untersuche analytisch: Wo ist die Menge aller Punkte P(x/y), sodass das Abstandsverhältnis Betrag von PA durchBetrag von PB = k (>0) konstant ist? Warum kann man o. B. d. A. k>=1 annehmen? Was ergibt sich für k=1, was für k ungleich 1? Für k=2: Wo sind alle Punkte P, die von A doppelt so weit entfernt sind wie von B? (Hinweis: Du kannst o. B. d. A. A=(-1/0) und B=(1/0) wählen (warum?), damit die Rechnungen einfacher werden.)

Comments

Warum kann man o. B. d. A. k>=1 annehmen? 

Man kann die beiden Punkte vertauschen.

|AP| : |BP| > 1 

<==> 

|BP| : |AP| < 1.

Was ergibt sich für k=1, was für k ungleich 1?

Bei k=1 hat man |BP| = |AP|. Das ergibt die mittelsenkrechte Gerade auf der Strecke AB. 

Answer 1

√((x - (-1))^2 + (y - 0)^2) / √((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = k

√(x^2 + 2·x + y^2 + 1) / √(x^2 - 2·x + y^2 + 1) = k

(x^2 + 2·x + y^2 + 1) / (x^2 - 2·x + y^2 + 1) = k^2

y = √((x^2·(k^2 - 1) - 2·x·(k^2 + 1) + k^2 - 1)/(1 - k^2))

Skizze