Question

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.

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b.) wie bereits vorgeführtes a.)
c.) zunächst ausmultiplizieren und dann aufleiten

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t^5 - 4*t^3 + 17 * t
Stammfunktion
t^6 / 6 - 4 *t^4 / 4 + 17 * t^2 / 2

4 * ( 2 * x - 1 )^2
4 * ( 4x^2 - 4*x + 1 )
Stammfunktion
4 * ( 4 * x^3 / 3 - 4 * x^2 / 2 + x )

Answer 1

a) zeige ich dir

Stammfunktion:

1/4*x^4-2/3*x^3+14x (in den Grenzen 0; 6) setze die Grenzen ein

324-144+84=264

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kann mir noch jemand b und c beantworten, blick da nicht durch:(

Answer 2

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale

Answer 3

In b) gilt offensichtlich$$ \int_{-3}^{3}\left(t^5-4t^3+17t\right)\text{d}t = 0$$denn Integrand und Integrationsintervall sind symmetrisch zum Ursprung. Ein Aufgabensteller, der die Aufgabe so stellt, möchte auch mal sehen, dass jemand diesen Lösungsweg benutzt!

Answer 4

c)

\( \int\limits_{0}^{3}4(2x-1)^2=4\int\limits_{0}^{3}(2x-1)^2dx\)

\( 4 \int\limits_{0}^{3}(2x-1)^2dx\) mit Substitution:

\( u=2x-1 \)     Auflösen nach x:

\( x=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\)    →    \( \frac{dx}{du}=\frac{1}{2}\)   →     \( dx=\frac{1}{2}du\)

Ich verändere nun die Integrationsgrenzen. Das erspart die Rücksubstitution.

Die obere Grenze ist  \( x=3\)    → \( 3=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\)    →  \( u=5\)

Die untere Grenze ist \( x=0\)   →  \( 0=\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}\) →   \( u=-1\)

Das Integral lautet nun:

\( 4 \int\limits_{-1}^{5}u^2 \cdot \frac{1}{2}du=4 [\frac{1}{6}u^3]_{-1}^{5}=4[\frac{125}{6}-(-\frac{1}{6})]=84\)

Unknown: Flächeninhalt-Bezug entfernt

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Du beantwortest "eine" Frage aus dem Jahr 2015 (!). Es gibt bereits mehrere (!) Antworten. Wenn Du dann schon eine erneute Antwort schreibst, wäre es dann nicht das mindeste, dass Du Dein Ergebnis mit den anderen vergleichst?

Wie ich Dir schon einmal nahelegte: Alte Fragen werden kaum 10 Jahre später noch herangezogen um Fragen zu beantworten. Ganz besonders nicht um alternative Wege zu finden, die meist komplizierter oder unnötiger sind als die bisher dastehenden. Der Zeitaufwand Deinerseits geht also aller Wahrscheinlichkeit ohne Gewinn für etwaige Nachleser aus :/.

Wenn Du Aufgaben für Dich lösen möchtest, kannst Du das natürlich gerne tun, was aber nicht gepostet werden muss?!

Hier:

Du hast den Faktor 4 zu Beginn aus dem Integral rausgeholt, dann aber vergessen. Bei einem Vergleich, wäre das nicht passiert.

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Ich habe deshalb meinen Weg gepostet, weil er in meinen Augen schnell zu einem Ergebnis führt.

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Die Änderung Deiner Antwort ist löblich, aber ich befürchte das hilft bei der Verunsicherung nicht^^. Als Schüler würde ich die Antwort vermutlich nur abschreiben...und immer noch den Faktor 4 vergessen ;).

Und ich würde "Alternativ" statt "schnell" wählen. Grosserloewe war deutlich schneller.

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Auch wird gar nicht nach einer Fläche gefragt und im Allgemeinen stimmen Integral und Flächeninhalt nicht überein. Didaktisch mal wieder eine sehr fragwürdige Antwort.

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Und ich würde "Alternativ" statt "schnell" wählen. Grosserloewe war deutlich schneller.

Und er hat gesehen, dass dies offensichtlich eine Aufgabe ist, die man in der Regel kurz nach Einführung der Integralrechnung berechnet, wo noch keine Integration durch Substitution besprochen wurden.

(Änderungen in meiner Antwort sollen bewirken, dass eventuelle Interessierte nicht verunsichert werden.)

Im Gegensatz zu dir vermute ich, dass es schon verwirrt, wenn du ein anderes Integral löst als die Aufgabe vorgibt und dann auch zu einem anderen Ergebnis kommst.

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Auch wird gar nicht nach einer Fläche gefragt und im Allgemeinen stimmen Integral und Flächeninhalt nicht überein.

Ich habe meine Zweifel, dass ihm klar ist, was Du meinst.

Diese ‚Antwort‘ sollte schleunigst korrigiert oder gelöscht werden.

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Die Gleichsetzung / Verwechslung mit dem Flächenproblem passiert auch anderen Moderatoren, siehe die nächste Aufgabe.

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Didaktisch mal wieder eine sehr fragwürdige Antwort.

Hallo Mensch, ich bin ein KI-Chatbot, Modell GPT-5 nano.
Berechnet man mit bestimmten Integralen keine Fläche?
Ja, doch: Bestimmte Integrale berechnen oftmals die Fläche unter einer Kurve über einem Intervall. Konkret:

Das bestimmte Integral von f(x) über [a, b] entspricht der Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x-Achse, wobei Bereiche unter der x-Achse als negative Fläche gezählt werden.
Wenn man die Fläche wirklich positiv messen möchte, verwendet man das Integral des Betrags: ∫_a^b |f(x)| dx.
Alternativ kann man Flächen zwischen zwei Kurven berechnen, z. B. Fläche = ∫_a^b [g(x) − f(x)] dx, sofern g ≥ f auf [a, b].
Kurz gesagt: Bestimmte Integrale geben Fläche an, aber man muss auf Vorzeichen achten oder Beträge verwenden, wenn man absolute Flächenwerte möchte.

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Es widerspricht doch niemand, dass man Integrale für Flächenberechnungen verwenden kann?! Auch der Bot sagt "oftmals". Aber eben auch "nicht ausschließlich".

Die Aufgabenstellung lautet

"Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale."

Und Du gibst einen Flächeninhalt aus. Das aber ist nicht korrekt/nicht gefragt.

Das ist wie, wenn die Aufgabe lautet "Bestimme die Nullstellen von f'(x)..." und Du dann als Antwort schreibst "Bei den Nullstellen liegt vielleicht eine Extremstelle vor." - Ja, das mag sein, das ist aber nicht die Aufgabe.

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Berechnet man mit bestimmten Integralen keine Fläche?

Das ist ungeschickt gefragt.

Frag Deinen Bot doch z.B. mal:

‚Gibt mir das bestimmte Integral einer Funktion immer den Flächeninhalt?‘

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Unfassbar, was der Herr M. alles überliest, um eine Rechtfertigung für seine schlechten Antworten zu finden. Ich sagte im Allgemeinen gilt das nicht. Aber das sagt der Bot ja auch, wird natürlich überlesen.

Und auch mit deiner KI-Antwort: du schließt ohne weiteren Kommentar vom Integral auf die Fläche. Das ist didaktisch einfach nur schlecht.

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Meine benutzte KI sagt: "Das bestimmte Integral kann man im Allgemeinen als Flächenbilanz am Graphen deuten."

Ich habe dabei die Ausgabe auf das wichtigste beschränkt. Die KI hat noch genau erläutert was positive und negative Flächenbeiträge sind und was der Unterschied zur Gesamtfläche ist.

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Betonung liegt auf ‚Flächenbilanz‘…