wie habt ihr denn "adjungiert" definiert, etwa so
A adjungiert zu B ⇔ für alle u,v aus V gilt A(v)*w=v*B(w)
und * ist das Skalarprod. des eunklid. VR.
Dann ist es doch z.B. bei B so:
Für A* gilt ja nach Def, für alle v,w aus V
A(v)*w=v*A*(w) #
und für B=(A*)* muss
nach der Def. gelten für alle v,w aus V A*(v)*w=v*B(w)
bzw v*B(w)= A*(v)*w und wegen der Kommutat. beim Skalarp.
B(w)*v= w*A*(v) . weil es ja für ALLE v,w gilt, kannst du deren
Namen in der Gleichung vertauschen und hast gezeigt, dass dies
gleichbedeutend ist mit B(v)*w=v*A*(w) , wenn man bei #
A für B einsetzt. Also ist B =(A*)* der adjungierte zu A*.
In ähnlicher Weise kannst du mit Hilfe der Def. auch die anderen
Eigenschaften begründen.
