Halbwertszeit von radioaktivem Jod!

Question

Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an! Wieviel Prozent der Menge zerfallen pro Tag? Wann ist weniger als 10% der ursprünglichen Menge da?

Ich habe folgende Formel aufgeschrieben 1/2^{1/8} nun frage ich mich, ob ich so lange bis unter 10% rechnen soll.

Answer 1

Die Zerfallsfunktion dürfte eine e-Funktion mit negativem Exponenten entsprechen. x ist die Anzahl Tagen.

f(x) = e^{-k*x}
f(0) = e^{-k*0} = e^0 = 1 ( 100 % )

f(8) = e^{-k*8} = 0.5 ( 50 % )
e^{-k*8} = 0.5
-k*8 = ln(0.5)
k = ln(0.5)/-8
k = 0.0866

Zerfallsfunktion : f(x) = e^{-0.0866 * x }

Wann ist weniger als 10% der ursprünglichen Menge da?

f(x) ≤ 0.1 ( 10 % )

f(x) = e^{-0.0866 * x } ≤ 0.1
-0.0866 * x ≤ ln(0.1)
x ≥ ln(0.1) / -0.0866
x ≥ 26.59 Tage

mfg Georg

Answer 2

Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage.

Gib die Zerfallsfunktion an!

No sei die Menge zu Beginn (Ich nehme No = 1 = 100%)

f(t) = No ((1/2)^{1/8})^t

f(t) = No ((1/2)^{1/8})^t

Wieviel Prozent der Menge zerfallen pro Tag? 

((1/2)^{1/8})^1 ≈  0.917004 ist nach einem Tag noch vorhanden.

1 - 0.917004 ≈ 0.0829959 ≈ 8.3% zerfallen pro Tag.

Wann ist weniger als 10% der ursprünglichen Menge da?

Ich habe folgende Formel aufgeschrieben 1/2^{1/8} nun frage ich mich, ob ich so lange bis unter 10% rechnen soll.

Das kannst du auch machen, wenn du die Frage nur auf Tage genau beantworten musst. Sonst folgende Gleichung lösen:

( 1/2^{1/8})^t = 0.1  | logarithmieren

t * ln(1/2^{1/8}) = ln(0.1)

t = ln(0.1)/ ln(1/2^{1/8}) ≈ 26.576      [letzte Ziffer ist aufgerundet, damit "strickt weniger" gilt.

Nach so vielen Tagen sind weniger als 10% der anfänglichen Menge vorhanden.