Fixpunkt genau dann wenn a bestimmten Wert hat

Question

seo \(a>0\). Beweise, dass die Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) \(f(x)=a^x\) genau dann einen Fixpunkt hat, wenn \(a\leq e^{\frac{1}{e}}\) ist

Answer 1

f(x) = e ^x*ln(a)  Fixpukt heißt  f(x) = x also hier

e ^x*ln(a) = x   

e ^x*ln(a) - x   = 0

und g(x) = e ^x*ln(a) - x   hat für x gegen - unendlich den GW  unendlich

und für x gegen + unendlich auch.

Damit es eine Nullstelle haben kann, muss der Tiefpunkt einen y-Wert ≤ 0
haben. Wenn du den ausrechnest kommst du vermutlich auf die Bedingung a ≤ e ^1/e  .

Comments

Den Tiefpunkt erhalte ich durch die erste Ableitung von g?

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Kommt wirklich so hin. Die Extremstelle ist für ln(a) > 0 bie
- ln(ln(a)) / ln(a) und wenn du das bei g einsetzt, gibt es
1/ln(a) + ln(ln(a))/ln(a) un d damit das ≥ 0 ist muss gelten
  1 + ln(ln(a)) ≥ 0

also a ≤ e^1/e

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wie kommst du auf ln(a) >0 bei - ln(ln(a)) / ln(a) 

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wenn du die Abl. = 0 setzt und x ausrechnest,

must du ja ln(ln(a)) bilden. Das geht aber nur, wenn ln(a) > 0 ist,

denn mur von pos. Zahlen gibt es einen ln.

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wie kommst du auf -ln(lna))/ln(a)? die erste ableitung von g(x) ist doch a^xloga-1. und das =0 setzen. da krieg ich immer was mit ln(1) und das ist ja null. der nächste schritt wäre dann 0/log(log(a)) und das fällt ja dann weg.. ich steh gerade total auf dem Schlauch.. kannst du mir helfen?

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die erste ableitung von g(x) ist doch a^xloga-1. und das =0 setzen.

genau,  das gibt   a^xln(a)   =  1      | ln(...)

was mit ln(1) und das ist ja null.  Richtig !!!

                      ln ( a^xln(a)  ) =  0

                 ln(a^x) + ln(ln(a)) = 0

                   x*ln(a) + ln(ln(a)) = 0

                        x*ln(a) =  - ln(ln(a))

                           x =     - ln(ln(a))    /   ln(a)