Pyramide: Volumen und Ebenengleichung bestimmen

Question

Gegeben sind vier Punkte \( A(2|-1|3), B(-1|0|4), C(2|3|3) \) und \( D(3|1|12) \). Die Punkte \( A, B, C \) bilden die Grundfläche E einer dreiseitigen Pyramide ABCD mit Spitze D.

a) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

b) Eine Ebene F sei parallel zur Grundfläche E. Sie zerschneide die Pyramide so, dass das Volumen des Pyramidenstumpfes \( 7 / 8 \) -tel des ursprünglichen Volumens ist. Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene F.

Answer 1

a)

AB = [-3, 1, 1]

AC = [0, 4, 0]

AD = [1, 2, 9]

Volumen = 1/6 * |([-3, 1, 1] x [0, 4, 0]) * [1, 2, 9]| = 56/3

Wenn das Volumen geachtelt werden soll, langt es die Pyramide in allen 3 Dimensionen zu halbieren. Damit liegt A' in der Mitte von AD. B' in der Mitte von BD und C' in der Mitte von CD.

Ich denke die Ebenengleichung kannst du dann selber aufstellen oder?

Comments

Aber wiso weiss ich das man die Seiten halbieren kann um noch 7/8 des Volumens zu haben?

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Das gilt für jeden Körper den ich in der Länge, Breite und Tiefe halbiere. Dann schrumpft das Volumen auf ein Achtel. Nimm z.B. einen Würfel. Teil ihn in der Länge, in der Breite und in der Höhe. Dann erhältst du acht kleine Würfel. Jeder hat ein Achtel des Volumens.

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Kann es sein, dass die Ebene die Gleichung E: x+3z-25 hat?

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Ja. Allerdings hast du die = 0 vergessen.

E: x + 3z - 25 = 0