Folge auf Monotonie überprüfen

Question

ich hab da eine Frage und zwar wenn ich eine rekursive Folge auf monotonie untersuchen möchte .

Als Beispiel nehmen wir mal

X1=42 von Xn+1=\frac { Xn }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2*Xn }

also meine Idee war,

Xn+1<Xn

nach auflösen komme ich dann auf Xn<√6

aber damit ist mir irgendwie nicht geholfen habt ihr vielleicht eine Idee.Und vielleicht auch eine idee zur Beschränktheit ?

Hilfe wäre klasse..... :b

Answer 1

(1)  Es ist klar, dass $x_n>0$ für alle $n$ gilt.
(2)  Die Folge ist nach unten durch $\sqrt3$ beschränkt:$$x_n^{\,2}-3=\frac{x_n^{\,2}}4+\frac32+\frac9{4x_n^{\,2}}-3=\frac{x_n^{\,2}}4-\frac32+\frac9{4x_n^{\,2}}=\left(\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}\right)^{\!2}\ge0.$$(3)  Die Folge ist monoton fallend:$$x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}=\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}=\frac{x_n^{\,2}-3}{2x_n}\ge0.$$

Answer 2

x(n+1) = x(n)/2 + 3/(2·x(n)) = (x(n)² + 3)/(2·x(n))

x(n + 1) = x(n)/2 + 3/(2·x(n)) = (x(n)² + 3)/(2·x(n))

Vermutung

x > (x² + 3)/(2·x) --> x > √3

Also gilt es für x > √3

Jetzt sollte man noch zeigen wann immer etwas großer als √3 heraus kommt.

Comments

Was sagt mir denn jetzt dass x?