eine Funktion ist in x0 ∈ D stetig, wenn der limx→xo f(x) existiert und gleich f(x0)
a)
für x≠2 ist die Funktion als gebrochenrationale Funktion stetig.
An der Nahtstelle x = 2 gilt:
limx→2 f(x) = limx→2 \(\frac{x^2-4}{x-2}\) = imx→2 \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\) = imx→2 (x+2) = 4 ≠ 0 = f(2)
f ist also in x=2 unstetig
b)
wie bei a) kann f nur an der Nahtstelle x=2 unstetig sein.
limx→2 \(\frac{x^2-3}{x-2}\) existiert nicht, weil der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen Null konvergiert
die einseitigen Grenzwerte streben also gegen ±∞
→ f ist unstetig in x=2
d)
f(x) = x2 - x2 + 1 = 1 für x >1 oder x < -1 → 1 für x → ± 1
x2 + x2 - 1 = 2x2 - 1 für -1 ≤ x ≤ 1 → 1 für x → ± 1
→ limx→ ±1 f(x) = 1 = f (± 1) → f hat keine Unstetigkeitsstellen
[ dies ergibt sich auch daraus, dass f eine Komposition stetiger Funktionen ist ]
Gruß Wolfgang
