Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum und V und f1,......,fn eine Basis von V ist

Question

Aufgabe:

Sei \( M=\left\{m_{1}, \ldots, m_{n}\right\} \) eine endliche nicht leere und \( K \) ein Körper. Auf der Menge
$$ V:=\{f: M \rightarrow K | f \text { ist Abbildung }\} $$
definieren wir eine Addition \( +: V \times V \rightarrow V \) und eine skalare Multiplikation
\( ·: K \times V \rightarrow V \) durch

\( \begin{array}{l} {(f+g)(m)=f(m)+g(m)} \\ {(\lambda \cdot f)(m)=\lambda f(m)} \end{array} \)

(a) Sei \( N \subset M . \) Zeigen Sie, dass

\( U:=\{f \in V | f(x)=0 \text { für alle } x \in N\} \)

ein Untervektorraum von \( V \) ist.

(b) Für \( i \in\{1,2, \ldots n\} \) definieren wir die Funktion
\( f_{i}: M \rightarrow K \) durch \( f_{i}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { falls } x=m_{i}} \\ {0} & {\text { sonst. }}\end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( f_{1}, \ldots, f_{n} \) eine Basis von \( V \) ist.

Comments

Für a) musst du die Eigenschaften eines Untervektorraums zeigen also

U nichtleer

v+w in U für v,w in U

alpha*v in U für v in U

das musst du jetzt einfach überprüfen.

Answer 1

Seien f,g∈ U (U nicht-leer durch konstante Nullabbildung), k∈K, x∈N

Betrachte

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0, also (f+g)∈U

(k f)(x)=k f(x)=k 0=0, also (kf)∈U

das ist schon alles für (a)

Für die (b) hast du verschiedene Möglichkeiten, du kannst zeigen dass {f_i} linear unabhängig ist und erzeugt, oder erzeugt und minimal ist oder linear unabhängig ist und maximal

Also sei f∈M beliebig, f(m₁)=a₁, f(m₂)=a₂, usw. mit geeigneten a_i∈K

⇒f(x)=a₁f₁(x)+a₂f₂(x)+... usw. , denn dann ist f(m_i)=a_i sonst 0

ferner sind ∑a_if_i=0 ⇔ a_i=0 für alle i=1,...,n, ansonsten ist mindestens ein Summand für ein m_i verschieden von 0, also ist {f_i} Erzeugendensystem und linearunabhängig, also Basis

diese ausführung ist nicht schön oder sauber, aber daran kannst du dir klar machen, was da von dir verlangt wird