Newton-Verfahren f(x)= x^3+x-5

Question

Wie berechnet man die Nullstellen der unteren funktion mit dem Newtonverfahren? 
hoffe mir kann das jemand ausführlich erklären

f(x)= x^3+x-5

und 

f(x)= x^4-3x-3

Comments

Du hast doch hier schon eine ausführliche Antwort: https://www.mathelounge.de/299903/newton-verfahren-f-x-x-3-x-2-1

Versuche mal das Gelernte bei diesen Fragen umzusetzen.

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ich hab das so: 

also bei f(x)= x³+x-5  

nullstelle: -1

-1^3+(-1)-5= -7

aber das kann doch nicht stimmen? ich versteh nicht wie ich auf die nullstelle kommen muss :/ 

Answer 1

f(x)= x⁴ - 3x - 3 = 0 , f '(x) = 4x³ - 3

mit einem Startwert x₁ (je näher an einer Nullstelle, desto besser) berechnet man nach der Formel   x_neu = x_alt  -  f(x_alt) / f '(x_alt)   immer genauere Werte für die Nullstelle:

Wegen f(-1) = 1 > 0   und f(0) = -3 < 0   muss im Intervall [-1 ; 0  ] nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle liegen. x₁ = -1 o ein geeigneter Starwert:

x_{neu  =  -1  -  f(-1) / f '(-1)   ≈}   -0.8571428571  ( → x_alt)

x_{neu =} -0.8571428571  -  f(-0.8571428571) / f '(-0.8571428571 )   usw.

Zur Kontrolle: die reellen Nullstellen von f sind  

x =  - 0.8366637550   ∨   x = 1.684615705

Ein guter Starwert für die zweite Nullstelle ist natürlich x=2

Durch die vorherige Bestimmung der Extrema (oder einen Plotter!) kann man sich oft ein Bild machen, wo gute Startwerte eventuell liegen.

Infos findest du hier:

http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe4/

Gruß Wolfgang

Comments

vielen dank! wie macht man die kontrolle? & setzt man immer -1 als anfangswert ein bei jeder funktion? oder muss man den anfangswert irgendwie berechnen, wenn ja wie ?

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Entweder du nutzt einen Plotter zur Anzeige der Funktion und siehst dort
in etwa den / die Nullpunkte.
Oder du berechnest  dir eine Wertetabelle und schaust wann
der Funktionswert das Vorzeichen wechselt.
Von minus nach plus
oder von
plus nach minus.
Dazwischen ist die Funktion null.

~plot~ x³+x-5~plot~

Erklärungen zum Newtonverfahren findest du im Internet.
Falls du das Newtonverfahren bereits kennst kann ich
dir das Beispiel einmal vorrechnen.

Georg