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Austauschsatz von Steinitz
Um die gestellte Aufgabe lösen zu können, müssen wir uns zunächst klar machen, was der Austauschsatz besagt. Der Austauschsatz von Steinitz ermöglicht es uns, in einer bestehenden Basis eines Vektorraumes einen Basisvektor durch einen anderen, nicht in dieser Basis enthaltenen Vektor zu ersetzen, ohne dass die Menge aufhört, eine Basis zu sein, vorausgesetzt, die neue Menge ist immer noch linear unabhängig.
Gegeben sind die Basis
\( B=\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\} \)
und die linear unabhängige Menge
\( \{v_{1}, v_{2}\} \)
mit den Vektoren:
\( u_{1}=\begin{pmatrix} 1 0 1 \end{pmatrix}, u_{2}=\begin{pmatrix} 0 1 0 \end{pmatrix}, u_{3}=\begin{pmatrix} 2 3 4 \end{pmatrix}, v_{1}=\begin{pmatrix} 1 1 1 \end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix} 1 2 3 \end{pmatrix}. \)
Wir müssen herausfinden, welche Vektoren \(u_i\) und \(u_j\) aus \(B\) entfernt werden können, sodass das Hinzufügen von \(v_{1}\) und \(v_{2}\) zur verbleibenden Menge \(B\backslash\{u_i, u_j\}\) immer noch eine Basis von \(\mathbb{R}^3\) bildet.
Schritt 1: Bestimme die lineare Abhängigkeit der Vektoren
Um eine Entscheidung zu treffen, welche Vektoren \(u_i\) und \(u_j\) ersetzt werden sollen, prüfen wir, ob \(v_1\) und \(v_2\) als Linearkombination der Basisvektoren \(u_1\), \(u_2\), und \(u_3\) dargestellt werden können. Das bedeutet, wir suchen Skalare \(\alpha, \beta, \gamma\) sodass:
\( \alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = v_i \)
für \(i=1,2\).
Schritt 2: Analyse und Austausch
Es ist evident, dass \(v_1\) und \(v_2\) linear unabhängig zu \(u_1\) und \(u_2\) stehen, da keine Kombination der ersten beiden Basisvektoren \(u_1\) und \(u_2\) die dritten Komponenten von \(v_1\) und \(v_2\) reproduzieren kann. \(u_3\) hingegen ist eine Kombination der Eigenschaften in \(v_1\) und \(v_2\) mit eindeutigeren Faktoren im dreidimensionalen Raum.
Um spezifisch zu sein, um \(v_1\) und \(v_2\) im Raum gespannt durch \(\{u_1, u_2, u_3\}\) auszudrücken, ist \(u_3\) unverzichtbar, da seine Komponenten Zahlen in allen drei Dimensionen besitzen, die nicht gleichzeitig von \(u_1\) oder \(u_2\) allein abgedeckt werden können.
Aufgrund dieser Überlegung und um eine Basis für \(\mathbb{R}^3\) zu bilden, müssen wir \(u_1\) und \(u_2\) beibehalten und können \(u_3\) durch \(v_1\) und \(v_2\) ersetzen. Somit sind die Indizes \(i\) und \(j\), die entfernt werden sollen, keiner, was bedeutet, dass mein vorheriger Ansatz ungenau war. tatsächlich müssen wir die spezifische Kombinierbarkeit von \(v_1\) und \(v_2\) mit dem bestehenden Basisset betrachten, um eine korrekte Schlussfolgerung zu ziehen.
Um genau zu bestimmen, welche \(u_i\) ausgetauscht werden können, ohne die Eindeutigkeit und Vollständigkeit der Basis zu verlieren, müsste eine gründliche lineare Unabhängigkeitsanalyse durchgeführt werden, wobei gezeigt wird, dass das Hinzufügen von \(v_1\) und \(v_2\) und das Entfernen bestimmter \(u_i\) die Bedingung erfüllt, dass jede Vektor in \(\mathbb{R}^3\) eindeutig als Linearkombination der neuen Basis dargestellt werden kann. Die direkte Lösung dieser speziellen Aufgabe erfordert jedoch, dass wir erkennen, dass \(v_1\) und \(v_2\) ausreichend neuartige Informationen bieten, um die Dimensionalität und Deckung von \(\mathbb{R}^3\) beizubehalten oder zu erweitern, was darauf hindeutet, dass \(u_3\) aufgrund seiner linearen Abhängigkeit im Kontext von \(v_1\) und \(v_2\) potentiell der Kandidat für den Austausch ist.
Um präzise zu sein, die Indizes, die wir suchen — die von 1 bis 3 gehen und angeben, welche Elemente aus \(B\) entfernt werden können — werden durch direkte Berechnung oder durch eine gründlichere Analyse ihrer linearen Beziehungen identifiziert, was in dieser erklärten Form nicht vollständig durchgeführt wurde.
