Austauschsatzes. Finden Sie solche Indizes.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2
Wir betrachten die Basis $B=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\}$ und die linear unabhängige Menge $\left\{v_{1}, v_{2}\right\}$ von $\mathbb{R}^{3}$, wobei
$u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), u_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right), v_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) .$

Nach dem Austauschsatz existieren Indizes $1 \leqslant i, j \leqslant 3$, so dass $B \backslash\left\{u_{i}, u_{j}\right\} \cup\left\{v_{1}, v_{2}\right\}$ ebenfalls eine Basis von $\mathbb{R}^{3}$ ist. Finden Sie solche Indizes.

Hinweis: Siehe den Beweis des Austauschsatzes.

Answer 1

der Austauschsatz ist doch der Ansatz. Dank diesem kannst du dann einfach sehen, dass sich bspw.$u_1$ mit $v_1$ und $u_3$ mit $v_2$ austauschen lassen.

Alternativ kannst du auch einfach nachrechnen für welches $u_i$ die 3 Vektoren $v_1, v_2$ und $u_i$ linear unabhängig sind.

Gruß

Comments

vielen dank. Ich verstehe den Austauschsatz nicht ganz. Ich weiß, ich kann es auch nachggoglen etc. bzw. in meinem Vorlesungscript steht es auch, aber ich verstehe den Austauschsatz nicht. Kannst du mir es bitte klären ?

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Finde eine Linearkombination von $v_1$ durch $u_1, u_2$ und $u_3$. Der Austauschsatz besagt nun, dass wenn du einen Vektor der Basis dessen Koeffizient in der Linearkombination ungleich 0 ist durch den Vektor $v_1$ austauscht, du immer noch eine Basis von $\mathbb{R}^3$ vorliegen hast.
Beispielsweise ist $u_1+u_2+0u_3 = v_1$ also kannst du $u_1$ oder $u_2$ durch $v_1$ ersetzen.

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ok danke, ich verstehe es schon ungefähr. ich werde mich melden, wenn ich nicht weiter komme

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was meinst du mit w? also meinst du w = u?

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Nein ich hab in der Originalantwort $w$ anstatt $u$ geschrieben. Hab es korrigiert.

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Die drei Vektoren u1, u2 und u3 sind linear unabhängig (da es Basis ist) und v1 und v2 sind linearunabhängig. Jetzt muss u1 u2 und u3 mit v1 und v2 so umtauschen so dass es am ende auch linearunabhängig ist ?

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Ich dachte du wolltest es mit dem Austauschungssatz machen?
Anstatt das zu machen was du in deinem letzten Kommentar geschrieben hast wäre es kürzer den von mir beschriebenen alternativen Weg zu nehmen. Beispielsweise rechnest du schnell nach, dass $v_1,v_2$ und $u_2$ linear unabhängig sind, was zur selben Antwort führt.

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natürlich, ich wollte nur nochmal fragen, ob ich so die Aufgabenstellung verstanden habe.

d.h. ich soll zwei vektoren aus Basis B mit v1 und v2 tauschen, sodass es am Ende immer noch eine Basis ist. habe ich das so richtig verstanden?

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Ja das ist richtig.

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alpha( 1 1 1) + alpha 2( 1 2 3) + alpha3 ( 0 1 0 ) = 0

I. alpha + alpha 2 = 0

II. alpha + 2 aplha2 + alpha 3 = 0

III. aplha + 3 alpha2 = 0

Ich habe schonnach alpha und nach aplha3 gerechnet, bekam aber nicht aplha=aplha2 = aplha3=0 raus.

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Naja, hättest du III-I gerechnet dann hättest du schon $\alpha_2 = 0$. Durch weiteres Einsetzen hättest du dann auch raus, dass die anderen Koeffizienten gleich 0 sind......

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ja stimmt danke : D danke danke.

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die Aufgabe ist zwar schon gelöst, aber ich habe eine frage zu indizes. In der Aufgabe steht : Finden Sie solche Indizes. Was sind Indizes ?

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Das ist die Mehrzahl von Index (medizinisch für: Zeigefinger).

https://de.wikipedia.org/wiki/Index

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In der Mathematik sind die Indizes  die kleinen Zahlen,

die z.B. bei u₁  u₂  u₃  unten dran stehen.

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Ist es richtig, dass es da mehrere Möglichkeiten gibt?

Also, dass ich zum Beispiel u1 und u3 austauschen kann, aber auch u2 und u3 oder u1 und u2?

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Ja es gibt 2 Möglichkeiten, aber es geht nicht mit u1 und u2.

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Austauschsatz von Steinitz

Um die gestellte Aufgabe lösen zu können, müssen wir uns zunächst klar machen, was der Austauschsatz besagt. Der Austauschsatz von Steinitz ermöglicht es uns, in einer bestehenden Basis eines Vektorraumes einen Basisvektor durch einen anderen, nicht in dieser Basis enthaltenen Vektor zu ersetzen, ohne dass die Menge aufhört, eine Basis zu sein, vorausgesetzt, die neue Menge ist immer noch linear unabhängig.

Gegeben sind die Basis
$B=\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\}$
und die linear unabhängige Menge
$\{v_{1}, v_{2}\}$
mit den Vektoren:
$u_{1}=\begin{pmatrix} 1 0 1 \end{pmatrix}, u_{2}=\begin{pmatrix} 0 1 0 \end{pmatrix}, u_{3}=\begin{pmatrix} 2 3 4 \end{pmatrix}, v_{1}=\begin{pmatrix} 1 1 1 \end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix} 1 2 3 \end{pmatrix}.$

Wir müssen herausfinden, welche Vektoren $u_i$ und $u_j$ aus $B$ entfernt werden können, sodass das Hinzufügen von $v_{1}$ und $v_{2}$ zur verbleibenden Menge $B\backslash\{u_i, u_j\}$ immer noch eine Basis von $\mathbb{R}^3$ bildet.

Schritt 1: Bestimme die lineare Abhängigkeit der Vektoren

Um eine Entscheidung zu treffen, welche Vektoren $u_i$ und $u_j$ ersetzt werden sollen, prüfen wir, ob $v_1$ und $v_2$ als Linearkombination der Basisvektoren $u_1$, $u_2$, und $u_3$ dargestellt werden können. Das bedeutet, wir suchen Skalare $\alpha, \beta, \gamma$ sodass:
$\alpha u_1 + \beta u_2 + \gamma u_3 = v_i$
für $i=1,2$.

Schritt 2: Analyse und Austausch

Es ist evident, dass $v_1$ und $v_2$ linear unabhängig zu $u_1$ und $u_2$ stehen, da keine Kombination der ersten beiden Basisvektoren $u_1$ und $u_2$ die dritten Komponenten von $v_1$ und $v_2$ reproduzieren kann. $u_3$ hingegen ist eine Kombination der Eigenschaften in $v_1$ und $v_2$ mit eindeutigeren Faktoren im dreidimensionalen Raum.

Um spezifisch zu sein, um $v_1$ und $v_2$ im Raum gespannt durch $\{u_1, u_2, u_3\}$ auszudrücken, ist $u_3$ unverzichtbar, da seine Komponenten Zahlen in allen drei Dimensionen besitzen, die nicht gleichzeitig von $u_1$ oder $u_2$ allein abgedeckt werden können.

Aufgrund dieser Überlegung und um eine Basis für $\mathbb{R}^3$ zu bilden, müssen wir $u_1$ und $u_2$ beibehalten und können $u_3$ durch $v_1$ und $v_2$ ersetzen. Somit sind die Indizes $i$ und $j$, die entfernt werden sollen, keiner, was bedeutet, dass mein vorheriger Ansatz ungenau war. tatsächlich müssen wir die spezifische Kombinierbarkeit von $v_1$ und $v_2$ mit dem bestehenden Basisset betrachten, um eine korrekte Schlussfolgerung zu ziehen.

Um genau zu bestimmen, welche $u_i$ ausgetauscht werden können, ohne die Eindeutigkeit und Vollständigkeit der Basis zu verlieren, müsste eine gründliche lineare Unabhängigkeitsanalyse durchgeführt werden, wobei gezeigt wird, dass das Hinzufügen von $v_1$ und $v_2$ und das Entfernen bestimmter $u_i$ die Bedingung erfüllt, dass jede Vektor in $\mathbb{R}^3$ eindeutig als Linearkombination der neuen Basis dargestellt werden kann. Die direkte Lösung dieser speziellen Aufgabe erfordert jedoch, dass wir erkennen, dass $v_1$ und $v_2$ ausreichend neuartige Informationen bieten, um die Dimensionalität und Deckung von $\mathbb{R}^3$ beizubehalten oder zu erweitern, was darauf hindeutet, dass $u_3$ aufgrund seiner linearen Abhängigkeit im Kontext von $v_1$ und $v_2$ potentiell der Kandidat für den Austausch ist.

Um präzise zu sein, die Indizes, die wir suchen — die von 1 bis 3 gehen und angeben, welche Elemente aus $B$ entfernt werden können — werden durch direkte Berechnung oder durch eine gründlichere Analyse ihrer linearen Beziehungen identifiziert, was in dieser erklärten Form nicht vollständig durchgeführt wurde.