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Gegeben seien die Vektoren:

v1 := (1,1,3)

v2:=(1,0,-1)

v3:=(-1,1,2)

w1:=(0,2,2)

w2:=(3,2,-1)

aus R3

a) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 eine Basis des R3 bilden.

b) Prufen Sie die Voraussetzung des Basisaustauschsatzes von Steinitz und tauschen ¨
Sie zwei der drei Vektoren v1, v2, v3 gegen w1 und w2 aus, so dass Sie wieder eine
Basis des R3 erhalten.


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Heute haben schon zwei Leute in einer Frage Steinitz erwähnt. Schau mal, ob dir die alte Frage hier weiterhilft. Suche benutzen oder "neue Fragen" durchschauen.

2 Antworten

+1 Daumen
a) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 eine Basis des R3 bilden.

Da genügt es zu zeigen, dass v1, v2, v3 voneinander linear unabhängig sind.

Wende einfach die Definition für lineare Unabhängigkeit an.

Avatar von 53 k 🚀
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Hallo Sabina,


Der R^3 braucht 3 linear unabhängige Vektoren, somit hat mein Vorgänger recht, es reicht zz., dass v1 bis v3 Lin unabhängig sind.

Am einfachsten geht das, indem du die Determinante von einer Matrix bildest, welche die 3 Vektoren als Zeilen oder spalten beinhaltet. Falls diese ungleich 0 ist, sind diese Vektoren linear unabhängig.

a) det ( 1 1 -1

            1 0 1       = 3 + 1 + 1 -2 = 3 != 0 Ergo Lin unabhängig und die Vektoren bilden Basis

             3 -1 2)


b) det ( 1 0 3

            1 2 2.  = -18 != 0 ergo auch Lin unabhängig und v1 w1 und w2 bilden auch eine Basis des R^3

            3 2 -1

Schau dir für die Berechnung am besten die Regel von Saures für determinantenberechnung an.

weiterhin viel spaß mit der Aufgabe 5.

Liebe Grüsse aus BT ;D

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