0 Daumen
575 Aufrufe
Von einer vom Aussterben bedrohten Art von Großtieren zählte man in den letzten acht Jahren die nachstehend aufgelisteten Bestände (Anzahl der Tiere):

831, 766, 601, 550, 520, 477, 451, 432

Nimmt man für die Anzahl Y im Jahr n, n = 0,1,2,..., exponentielles Abfallen gemäß Y(n) = c*e^{-beta*n} an, so kann man Schätzungen für c und beta aus den Daten erhalten. Ermitteln Sie diese Schätzungen und geben Sie damit die Schätzung des Bestands im übernächsten Jahr an.

1. Zwei Gleichungen aufstellen, in jede Gleichung wird ein Wertepaar eingesetzt.
2. Die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren, dabei fällt ln(c) weg.
3. k berechnen.
4. In eine der beiden Gleichungen einsetzen, um ln(c) zu berechnen, dann kann man leicht c berechnen.
5. Gleichung anschreiben.

ln(831)= - beta *1+ln(c)
ln(766)= -beta *2 +ln(c)

6,7 = -beta *1 + ln(c) | (-)

6,6= -beta *2 +ln(c)

0,1 = beta

6,6 = -0,1 *2 +ln(c)

6,8 = ln(c)

c= e^6,8

ne das kann nicht sein oder?
Avatar von

Kann nicht sein

;-)

Wenn man die Abfälle zum Vorjahr ausrechnet ergibt sich folgendes Bild:

Jahr   Tiere   Abfall

0         831       -

1         766       0.9218

2         601       0.7846

3         550       0.9151

4         520       0.9455

5         477       0.9173

6         451       0.9455

7         432       0.9579

Also ergibt sich bis auf Jahr 2 ein Abfall von ganz grob 0.9 = 90 %. Im Jahr 2 haben wir ein Abfall von ungefähr 80 % also etwa den Abfall von 2 bis 3 Jahren

Hier einmal die Rechnung bei Einschiebung von 2 Jahren:

 

Lineare Regression
 y = c * e^-(b * n) z = ln y = (ln c) - b * n     
 Jahr nif'(n)Tiere yilog yini -nzi -z(ni -n)*(zi -z)(ni -n)^2
         
 0
1
819
760,0382165
831
766
6,722629795
6,64118217
-5
-4
0,388434369
0,306986744
-1,942171845
-1,227946975
25
16
Summe11579,038216159713,36381196 0,695421113-3,1701188241
         
 

4
5
6
7
8
9

607,4212978
563,6915749
523,1100601
485,4501064
450,5013835
418,0687033
601
550
520
477
451
432
6,398594935
6,309918278
6,253828812
6,167516491
6,11146734
6,068425588
-1
0
1
2
3
4
0,064399509
-0,024277148
-0,080366614
-0,166678935
-0,222728086
-0,265769838
-0,064399509
0
-0,080366614
-0,33335787
-0,668184259
-1,063079351
1
0
1
4
9
16
Summe393048,243126303137,30975144 -0,695421113-2,20938760331
         
Gesamt404627,281342462850,67356341  -5,37950642372
         

Erwartungswert

= Gesamt / 8

 

5578,4101678578,56,334195426  -0,6724383039
 6       

Prognose1

Prognose2

10

11

387,9709299
360,0399678
      
         
-b = -0.6724383 / 9 =

 

-0,074715367 e^-b  =0,92800759   
ln c = 6.33419543 - (-0.07471537) * 5 = 6,707772261 c = e^{lnc} =818,7446568 =819 
         
Regressionsfunktion  f(n) = 819 * e^{-0.07471537 * n}     
         

2 Antworten

0 Daumen

ich gehe einmal von der Formel  f(x) = c*e-beta*n

und den beiden Wertepaaren

x = 0 ;  f(x) = 831
x = 1 ;  f(1) = 766
 

f(0) = c*e^{-beta*0} = 831 Ι e^{-beta*0} = e^0 = 1
f(0) = c = 831
f(1) = c*e^{-beta*1} =766
f(1) = 831 * e^{-beta} = 766
e^{-beta} = 766/831 = 0.92178
-beta= ln(0.92178)
-beta = -0.081
beta = 0.081

f(x) = 831 * e^{-0.081 * n}

Probe :

n = 0
f(0) = 831 * e^{-0.081 * 0}
f(0) = 831

n = 1
f(1) = 831 * e^{-0.081 * 1}
f(1) = 831* 0.922
f(1) = 766

Hier sollte man doch die Wertepaare in ein Diagramm einzeichnen um sich einmal einen
Überblick über die Abweichungen der Einzelwerte von der gefundenen Beziehung zu verschaffen.

mfg Georg

Bei Fehlern oder Fragen bitte melden.



 



 

Avatar von 122 k 🚀

Okay vielen Dank!
ermittel ich dann c so?

ln(c)-0,081*1=831

ln(c) = 8,391

c= e^8,391


oder eine c = 831 ?

 

und der Bestand im nächsten Jahr wäre dann:

 

f(9) = 831 * e-0.081 * 9 oder? 

Der Beginn deines Kommentars lautet :

ln(c)-0,081*1=831

Wie kommst du hierauf ?

mfg Georg
0 Daumen
Zunächst einmal würde ich in diesem Fall (Zählen von Großtieren) nicht unbedingt einer statistisch genauen Aussage den Vorzug geben; denn das bedeutete ja, dass die Einflüsse stets die gleichen sind, ohne Berücksichtigung etwaiger Gegenmaßnahmen zum Beispiel - bei einer Zählung während 8 Jahren vielleicht nicht unbedingt anzunehmen. Das heißt nicht, dass in vielen Fällen - wohl unbestritten in den meisten Fällen - eine z.B. kubische Regression am sinnvollsten ist. Ebenso wird es fast immer sinnvoll sein, den zeitlichen Verlauf grafisch darzustellen.

Man könnte also in diesem Fall für eine grobe SCHÄTZUNG z.B. versuchen, die letzten 3 Zählungen zu nehmen, und hierfür eine exponentielle Schätzung vorzunehmen, die immer nur IN EINEM BESTIMMTEN BEREICH, eben moeglichst INNERHALB der gewählten Schätzungspunkte, anwendbar ist, für eine EXTRAPOLATION ist dieser Ansatz meistens nicht gedacht. Der Ansatz koennte z.B. lauten y =  a * b^x * c^{x^2} Das ergäbe nach Logarithmieren ein quadratisches Gleichungssystem, deren Koeffizienten a, b, c leicht ermittelt werden könnten.

Trotz der Einschränkungen scheint der Ansatz für eine exponentielle Schätzung von y in diesem Fall zu einem sinnvollen Ergebnis zu führen: y ≈ 477 * (451/477*451/(477*432)^0.5)^{n -5} * ((477*432)^0.5/451)^{(n-5)^2}

y  ≈ 477 * (0.939363414)^4 * (1.006524895)^16 = 412
Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community