Wie werden c und beta geschätzt beim exponentiellen Abfallen? Bedrohte Art von Grosstieren

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Von einer vom Aussterben bedrohten Art von Großtieren zählte man in den letzten acht Jahren die nachstehend aufgelisteten Bestände (Anzahl der Tiere):

831, 766, 601, 550, 520, 477, 451, 432

Nimmt man für die Anzahl Y im Jahr n, n = 0,1,2,..., exponentielles Abfallen gemäß Y(n) = c*e^(-beta*n) an, so kann man Schätzungen für c und beta aus den Daten erhalten. Ermitteln Sie diese Schätzungen und geben Sie damit die Schätzung des Bestands im übernächsten Jahr an.

1. Zwei Gleichungen aufstellen, in jede Gleichung wird ein Wertepaar eingesetzt.
2. Die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren, dabei fällt ln(c) weg.
3. k berechnen.
4. In eine der beiden Gleichungen einsetzen, um ln(c) zu berechnen, dann kann man leicht c berechnen.
5. Gleichung anschreiben.

ln(831)= - beta *1+ln(c)
ln(766)= -beta *2 +ln(c)

6,7 = -beta *1 + ln(c) | (-)

6,6= -beta *2 +ln(c)

0,1 = beta

6,6 = -0,1 *2 +ln(c)

6,8 = ln(c)

c= e^6,8

ne das kann nicht sein oder?
Gefragt 3 Jun 2013 von Gast hj2166

Kann nicht sein

;-)

Wenn man die Abfälle zum Vorjahr ausrechnet ergibt sich folgendes Bild:

Jahr   Tiere   Abfall

0         831       -

1         766       0.9218

2         601       0.7846

3         550       0.9151

4         520       0.9455

5         477       0.9173

6         451       0.9455

7         432       0.9579

Also ergibt sich bis auf Jahr 2 ein Abfall von ganz grob 0.9 = 90 %. Im Jahr 2 haben wir ein Abfall von ungefähr 80 % also etwa den Abfall von 2 bis 3 Jahren

Hier einmal die Rechnung bei Einschiebung von 2 Jahren:

 

Lineare Regression
  y = c * e^-(b * n)   z = ln y = (ln c) - b * n          
  Jahr ni f'(n) Tiere yi log yi ni -n zi -z (ni -n)*(zi -z) (ni -n)^2
                 
  0
1
819
760,0382165
831
766
6,722629795
6,64118217
-5
-4
0,388434369
0,306986744
-1,942171845
-1,227946975
25
16
Summe 1 1579,038216 1597 13,36381196   0,695421113 -3,17011882 41
                 
 

4
5
6
7
8
9

607,4212978
563,6915749
523,1100601
485,4501064
450,5013835
418,0687033
601
550
520
477
451
432
6,398594935
6,309918278
6,253828812
6,167516491
6,11146734
6,068425588
-1
0
1
2
3
4
0,064399509
-0,024277148
-0,080366614
-0,166678935
-0,222728086
-0,265769838
-0,064399509
0
-0,080366614
-0,33335787
-0,668184259
-1,063079351
1
0
1
4
9
16
Summe 39 3048,243126 3031 37,30975144   -0,695421113 -2,209387603 31
                 
Gesamt 40 4627,281342 4628 50,67356341     -5,379506423 72
                 

Erwartungswert

= Gesamt / 8

 

5 578,4101678 578,5 6,334195426     -0,672438303 9
  6              

Prognose1

Prognose2

10

11

387,9709299
360,0399678
           
                 
-b = -0.6724383 / 9 =

 

-0,074715367   e^-b  = 0,92800759      
ln c = 6.33419543 - (-0.07471537) * 5 =   6,707772261   c = e^(lnc) = 818,7446568  = 819  
                 
Regressionsfunktion     f(n) = 819 * e^(-0.07471537 * n)          
                 

2 Antworten

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Hallo,

ich gehe einmal von der Formel  f(x) = c*e-beta*n

und den beiden Wertepaaren

x = 0 ;  f(x) = 831
x = 1 ;  f(1) = 766
 

f(0) = c*e^(-beta*0) = 831 Ι e^(-beta*0) = e^0 = 1
f(0) = c = 831
f(1) = c*e^(-beta*1) =766
f(1) = 831 * e^(-beta) = 766
e^(-beta) = 766/831 = 0.92178
-beta= ln(0.92178)
-beta = -0.081
beta = 0.081

f(x) = 831 * e^(-0.081 * n)

Probe :

n = 0
f(0) = 831 * e^(-0.081 * 0)
f(0) = 831

n = 1
f(1) = 831 * e^(-0.081 * 1)
f(1) = 831* 0.922
f(1) = 766

Hier sollte man doch die Wertepaare in ein Diagramm einzeichnen um sich einmal einen
Überblick über die Abweichungen der Einzelwerte von der gefundenen Beziehung zu verschaffen.

mfg Georg

Bei Fehlern oder Fragen bitte melden.



 



 

Beantwortet 3 Jun 2013 von georgborn Experte LVII

Okay vielen Dank!
ermittel ich dann c so?

ln(c)-0,081*1=831

ln(c) = 8,391

c= e^8,391


oder ne c = 831 ?

 

und der Bestand im nächsten Jahr wäre dann:

 

f(9) = 831 * e-0.081 * 9 oder? 

Der Beginn deines Kommentars lautet :

ln(c)-0,081*1=831

Wie kommst du hierauf ?

mfg Georg
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Zunächst einmal würde ich in diesem Fall (Zählen von Großtieren) nicht unbedingt einer statistisch genauen Aussage den Vorzug geben; denn das bedeutete ja, dass die Einflüsse stets die gleichen sind, ohne Berücksichtigung etwaiger Gegenmaßnahmen zum Beispiel - bei einer Zählung während 8 Jahren vielleicht nicht unbedingt anzunehmen. Das heißt nicht, dass in vielen Fällen - wohl unbestritten in den meisten Fällen - eine z.B. kubische Regression am sinnvollsten ist. Ebenso wird es fast immer sinnvoll sein, den zeitlichen Verlauf grafisch darzustellen.

Man könnte also in diesem Fall für eine grobe SCHÄTZUNG z.B. versuchen, die letzten 3 Zählungen zu nehmen, und hierfür eine exponentielle Schätzung vorzunehmen, die immer nur IN EINEM BESTIMMTEN BEREICH, eben moeglichst INNERHALB der gewählten Schätzungspunkte, anwendbar ist, für eine EXTRAPOLATION ist dieser Ansatz meistens nicht gedacht. Der Ansatz koennte z.B. lauten y =  a * b^x * c^(x^2) Das ergäbe nach Logarithmieren ein quadratisches Gleichungssystem, deren Koeffizienten a, b, c leicht ermittelt werden könnten.

Trotz der Einschränkungen scheint der Ansatz für eine exponentielle Schätzung von y in diesem Fall zu einem sinnvollen Ergebnis zu führen: y ≈ 477 * (451/477*451/(477*432)^0.5)^(n -5) * ((477*432)^0.5/451)^((n-5)^2)

y  ≈ 477 * (0.939363414)^4 * (1.006524895)^16 = 412
Beantwortet 18 Aug 2013 von Gast bh8122

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