Die Wachstumsgeschwindigkeit einer Pflanze wird in den ersten Wochen
nach der Pflanzung durch die Funktion h mit h (x) = (50x2+10)/(2e°x) beschrieben
( x in Wochen nach Beginn der Messung, h ( x) in cm pro Wochen. Zu Beginn
der Messung ist die Pflanze 2 cm hoch.
a) Wann wächst die Pflanze am schnellsten?
Dies ist die Frage nach dem Extrempunkt der Wachstumsgeschwindigkeit
h ´( x ) = [ 100*x * 2* e^x - ( 50 * x^2 + 10 ) * 2 * e^x ] / ( 2*ex )^2
h ´( x ) = (-5) * ( 5*x^2 - 10*x + 1 ) / e^x
Extrempunkte
5*x^2 - 10*x + 1 = 0
x = 0.1 Woche ( Tiefpunkt )
x = 1.89 Wochen ( Hochpunkt )
b) Wie hoch war die Pflanze nach fünf Wochen?
Stammfunktion der Wachstumsgeschwindigkeit
∫ h ( x ) dx
(-5) * ( 5*x^2 + 10*x + 11 ) / e^x + c
für x = 0 gilt f ( 0 ) = 2
(-5) * ( 5*0^2 + 10*0 + 11 ) / e^0 + c = 2
c = 57
[ (-5) * ( 5*x^2 + 10*x + 11 ) / e^x + 57 ]05
48.73 cm
c) Die Pflanze soll verkauft werden, sobald sie eine Höhe von 45 cm
erreicht hat. Nach wievielen Wochen seit Beginn der Messung hat sie die für
den Verkauf notwendige Höhe erreicht?
[ (-5) * ( 5*x^2 + 10*x + 11 ) ] / e^x + 57]0t = 45
t = 4.29 Wochen
d) Welche maximale Höhe wird die Pflanze erreichen?
lim t −> ∞ = 55 cm
e) Skizzieren Sie die Funktion f, die die Höhe in Abhängigkeit der Zeit darstellt.
f ( t ) = [ (-5) * ( 5*t^2 + 10*t + 11 ) / e^t + 57 ] - [ (-5) * ( 5*0^2 + 10*0 + 11 ) / e^0 + 57 ]
f ( t ) = [ (-5) * ( 5*t^2 + 10*t + 11 ) / e^t + 57 ] - 2
f ( t ) = [ (-5) * ( 5*t^2 + 10*t + 11 ) / e^t + 55
~plot~ (-5)*(5*x^{2}+10*x+11)/e^{x} +55 ;{ 4.29 | 45 } ;[[0|10|0|60]] ~plot~
Es weiß nicht ob der letzte Schritt so ganz richtig ist.
denn es kommt für t = 0 null heraus.
Es müßte aber 2 herauskommen.
Ich will jetzt aber erst einmal Mittagessen.
