Fläche zwischen den Funktionen berechnen

Question

Bitte um Hilfe !!

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen f und g im Intervall zwischen den reellwertigen Schnittpunkten beider Funktionen:

f(x)=ln(x)

g(x)=(ln(x))^2

Answer 1

1. Schnittpunkte berechnen

ln(x) = ln^2(x)

ln(x) - ln^2(x) =0

ln(x)( 1 -ln(x)=0

Satz vom Nullprodukt

1.ln(x)=0

x=1

2.1 -ln(x)=0

x=e

2. Fläche

---------->

=Int (von 1 bis e ) (ln(x) -ln^2(x) )dx = -x(ln^2(x) -3 ln(x)+3) ≈0.28 (3 -e)

Comments

Wie integriere ich das? Das verstehe ich nicht.

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Du mußt beide Integrale getrennt integrieren

1. Integral  int (1*ln(x)) dx ->1 Mal partlell integrieren

2. Integral ln^2(x) dx ->2  Mal partlell integrieren

Answer 2

~plot~ln(x); ln(x)^2~plot~

ln(x) = ln(x)^2

ln(x) - ln(x)^2= 0

ln(x) * ( 1 - ln(x) ) = 0

ln(x) = 0 oder ln(x) = 1

x = 1 oder  x=e   also Fläche=

$$ \int_{1}^{e} ( ln(x) - ln(x)^2 ) $$

Stammfunktion ist

- x * ( ln(x)^2 - 3 ln(x) + 3 ) + C

also Integral = 3 - e

Answer 3

Schnittpunkte sind \(x=1 \) und \( x=e \)

Differenzfunktion: \( d(x)=\ln(x)-\ln^2(x)\)

\( \int\limits_{1}^{e}(\ln(x)-\ln^2(x))dx\)   Substitution \( u=\ln(x)\)→\( x=e^{u} \).

\( dx=e^u du \)

Anpassung der Grenzen erspart die Rücksubstitution:

untere Grenze : \(x=1 \) → \(1=e^ u \) → \(u=0 \)

obere Grenze : \(x=e \) →    \(e=e^ u \) →    \(u=1 \)

\( \int\limits_{0}^{1}(u-u^2)e^ u du\)

A)

\( \int\limits_{0}^{1}u e^ u du=u  e^ u-\int\limits_{0}^{1}1e^u du=[u e^ u-e^u]_{0}^{1}=[e-e  ]–[ -1    ]=1\)

B)

\( \int\limits_{0}^{1} u^2 e^u du=u^2 e^u-\int\limits_{0}^{1}2u e^u \)

C)

\( \int\limits_{0}^{1}2u e^u=2ue^ u - \int\limits_{0}^{1}2e^ u du=2u e^ u-2e^ u\)

......

\( \int\limits_{0}^{1} u^2 e^u du=u^2 e^u-\int\limits_{0}^{1}2u e^u =u^2 e^ u-(2u e^ u-2e^ u)=[u^2 e^ u-2u e^ u+2e^ u]_{0}^{1}\\=e-2\)

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\( \int\limits_{0}^{1}(u-u^2)e^ u du=1-(e-2)=3-e\) FE