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Sei f : [0, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(0) = f(1). Zeigen Sie, dass ein x ∈  [0,1/2]  existiert mit f(x) = f(x + 1/2)

hi! brauche bei dieser übungsaufgabe unterstützung! wer kann helfen? herzliche grüße

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: Sei f eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass ein x ∈ [0, 1/2] existiert mit f(x) = f(x + 1/2)

Stichworte: stetig,stetige,funktionen,zeigen

Sei f : [0, 1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(0) = f(1). Zeigen Sie, dass ein x ∈  [0,1/2]  existiert mit f(x) = f(x + 1/2)

EDIT: Umgeleitet auf das Original.

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Wende den Zwischenwertsatz auf die Funktion \[g : \left[0, \frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}, \quad x\mapsto f\left(x\right) - f\left(x + \frac{1}{2}\right)\] an.

[spoiler]

Betrachte die Funktion

\[g : \left[0, \frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}, \quad x\mapsto f\left(x\right) - f\left(x + \frac{1}{2}\right)\text{.}\]

Mit der Stetigkeit von \(f : \left[0, 1\right]\to \mathbb{R}\) folgt, dass auch \(g\) stetig ist.

\[g\left(0\right) = f\left(0\right) - f\left(0+\frac{1}{2}\right) \stackrel{f(0)=f(1)}{=} f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right)\] \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right)\]

1. Fall: \(f\left(1\right) > f\left(\frac{1}{2}\right)\)

Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) > 0 \] und \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right) < 0\text{,}\] weshalb es nach Zwischenwertsatz ein \(x\in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt.

2. Fall: \(f\left(1\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)\)

Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \text{,}\] so dass es ein \(x \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt, nämlich \(x = 0\).

3. Fall: \(f\left(1\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)\)

Dann ist \[g\left(0\right) = f\left(1\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \] und \[g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(1\right) > 0\text{,}\] weshalb es nach Zwischenwertsatz ein \(x\in\left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\) gibt.

[Ende der Fallunterscheidung]

In jedem Fall gibt es ein \(x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\) mit \(g\left(x\right) = 0\). Für dieses \(x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\) ist dann nach Konstruktion der Funktion \(g\) \[f\left(x\right)- f\left(x+\frac{1}{2}\right) = 0\text{,}\] also \[f\left(x\right) = f\left(x+\frac{1}{2}\right)\text{.}\]

[/spoiler]

Beantwortet von

  Es juckt mich in den Fingern. Eine solche Fallunterscheidung ist dem  ZWS  fremd. Es istgleichgültig, ob

  1)  f ( a )  <  f  (  b  )

   2)  f  (  a  )  =  f  (  b  )

   3)  f  (  a  )  >  f  (  b  )


    In allen drei Fällen sagt der  ZWS  den Zwischenwert im  INNEREN des Intervalls  ( a  ;  b  )  vorher.

Eine entsprechende Fallunterscheidung ist dem Zwischenwertsatz nicht fremd. In den den meisten Quellen, die ich kenne, werden für den Zwischenwertsatz bei einer stetigen Funktion \(f : [a, b]\to \mathbb{R}\) in gewissem Maße Fälle unterschieden, um die Aussage ordentlich aufschreiben zu können.

1. O.B.d.A. \(f(a) \leq f(b)\) angenommen, und dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(a), f(b)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Damit wird dann eine Fallunterscheidung vermieden, weil man sich einfach auf einen Fall beschränkt.

... oder ...

2. Es werden die Fälle \(f(a) \leq f(b)\) bzw. \(f(a) \geq f(b)\) unterschieden. Im Fall  \(f(a) \leq f(b)\) wird dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(a), f(b)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Im Fall  \(f(a) \geq f(b)\) wird dann gesagt, dass es zu jedem \(y\in[f(b), f(a)]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt.

... oder ...

3. Es wird gesagt, dass es zu jedem \(y\in\left[\min\lbrace f(a), f(b)\rbrace , \max\lbrace f(a), f(b)\rbrace\right]\) ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt. Dann ist die Fallunterscheidung in gewissem Sinne im Minimum und Maximum versteckt. Aber ja, genau genommen, braucht man dann keine Fallunterscheidung.

... oder ...

4. Es wird etwas schwammig davon geredet, dass es für jeden Wert \(y\) "zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\)" ein \(x\in [a, b]\) mit \(f(x) = y\) gibt.

=====

Natürlich hast du recht, dass es dem Zwischenwertsatz eigentlich relativ egal ist, ob nun \(f(a)\) oder \(f(b)\) größer ist. Insofern kann ich dir recht geben. Ich habe mir auch überlegt, ob ich denn nun eine Fallunterscheidung machen sollte, oder nicht, und habe mich dann dafür entschieden.

Du darfst mir übrigens gerne die von dir bevorzugte Variante des Zwischenwertsatzes, die wohl ohne Fallunterscheidung auskommt, aufschreiben oder mich darauf verweisen.

=====

In einem Punkt liegst du jedenfalls falsch. Die Stelle des Zwischenwertes liegt NICHT unbedingt im INNEREN des Intervalls \([a, b]\).

Gegenbeispiel:

Betrachte die stetige Funktion \[f : [a, b]\to \mathbb{R}, x\mapsto x\] mit \(a = 0\) und \(b = 1\). Nach Zwischenwertsatz gibt es zu jedem \(y\in [f(a), f(b)] = [f(0), f(1)] = [0, 1]\) ein \(x\in [a, b] = [0, 1]\) mit \(f(x) = y\). Der Wert \(x\) muss jedoch nicht unbedingt im Inneren des Intervalls \([0, 1]\) liegen. Für \(y = 1 \in [0, 1]\) findet man beispielsweise kein \(x\in \left]0, 1\right[\) mit \(f(x) = y\).

Oder meintest du die folgende Variante des Zwischenwertsatzes?

Sei \[f : [a, b]\to \mathbb{R}, x\mapsto x\] eine stetige Funktion. Sei \(m = \min\lbrace f(a), f(b)\rbrace\) und \(M = \max\lbrace f(a), f(b)\rbrace\). Dann gibt es für jedes \(y\in \left]m, M\right[\) ein \(x\in\left]a, b\right[\) mit \(f(x) = y\).

+1 Punkt

definiere die Funktion  g : [0,1/2] → ℝ  durch  g(x) = f(x) - f(x + 1/2). Da  f  stetig ist, ist auch  g  stetig und es gilt
g(0) = f(0) - f(1/2)  sowie  g(1/2) = f(1/2) - f(1) = f(1/2) - f(0) = -g(0).
Daher existiert nach dem Zwischenwertsatz ein  c ∈ [0,1/2]  mit
g(c) = 0, d.h. f(c) - f(c + 1/2) = 0.
Daraus folgt die Behauptung.

Beantwortet von
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  Eine voll pfiffige Aussage; geht mit dem analogen Trick, den der Kollege schon einmal beschrieben hatte. Damals hattest du eine stetige Funktion


    f  :  [  a  ;  b  ]  ===>  [  a  ;  b  ]         (  1  )


     zu zeigen:


    (E)  Fixpunkt  x  |  f  (  x  )  =  x        (  2  )


       Hier musst du einen Verschieber machen


     g  :  [  0  ;  1/2  ]  ===>    |R         (  3a  )

     g  (  x  )  :=  f  (  x  +  1/2  )  -  f  (  x  )     (  3b  )


    Dann folgt


     g  (  0  )  =  f  (  1/2  )  -  f  (  0  )       (  4a  )

     g  (  1/2  )  =  f  (  1  )  -  f  (  1/2  )  =     (  4b  )

                       =  f  (  0  )  -  f  (  1/2  )    =    (  4c  )     ;  Vorauss

                      =  -  g  (  0  )      (  4d  )


    Anwendung des  ZWS  auf ( 4ad ) liefert die Existenz einer Nullstelle


   (E)  x0  €  (  a  ;  b  )  |  g  (  x0  )  =  0     (  5a  )

      f  (  x0  +  1/2  )  -  f  (  x0  )  =  0      (  5b  )     ;  wzbw

Beantwortet von 3,8 k

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