Wie zeige ich, dass die Dimension kleiner 1 ist?

Question

Sei V ein (n+1) dimensionaler Vektorraum, q nicht ausgeartete quadratische Form mit Signatur 1-n.

Zu zeigen: U linearer Unterraum mit q(v)=0, dann ist dim(U) kleiner 1.

Hat jemand einen Tipp, wie ich hier vorgehen kann?

Mein Problem ist, dass ich das Thema "Signatur" und "nicht ausgeartet" noch nicht richtig verstanden habe, um mit den Definitionen zu arbeiten. Denn ich denke, dass muss ich hier machen, oder?

 

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Mathematik)

Du musst wohl mit irgendeiner dieser Definitionen argumentieren. Nimm möglichst die, die zu eurem Kurs passt.

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Also ich hab mir jetzt folgendes überlegt:

Da die Signatur von q = 1-n beträgt und die Signatur als sig(q) = (s+) - (s-) definiert ist, lauten die Eigenwerte 1 und n.

Da q nicht asgeartet ist, gilt V rechtsorthogonal = 0 und man findet:

dim (U) + dim (U rechtsorthogonal) = dim (V)

dim(V) kennen wir, das ist n+1 und da dim(U < 1 ist, muss dim (U rechtsorthogonal) = n sein.

Stimmt das so? Bringt mich das irgendwie weiter? Wie beweise ich das?