Blutalkohol mittels Wachstumsfunktionen berechnen

Question

Ein Zecher hat sich um 24 Uhr einen Alkoholgehalt von 1,8 Promille angetrunken. Nach einer Faustformel werden stündlich 0.2 Promille abgebaut. Ein anderes exponentielles Modell geht davon aus, dass stündlich 20% des aktuellen Gehaltes abgebaut werden,

Meine Funktionen: f(x) = 1,8 - 0,2x

                              g(x) =1,8 * 0,8^x

d) Zu welchem Zeitpunkt ist der Unterschied zwischen den Modellen maximal?

e) Bestimme Sie näherungsweise, zu welchem Zeitpunkt die beiden Modelle den gleichen Alkoholgehalt anzeigen.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe 

Comments

Zur Inspiration für den Anfang mal : https://www.mathelounge.de/206792/exponentielle-lineare-abnahme-alko…
aus den "ähnlichen Fragen". 

Tipp zu d) 

d) Zu welchem Zeitpunkt ist der Unterschied zwischen den Modellen maximal?

d(x) = f(x) - g(x) = 1.8 - 0.2x - 1.8*0.8^x 

nach x ableiten und Ableitung Null setzen. 

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Vielen Dank :) Für die Aufgabe e) hast du leider keinen Ansatz oder?

Answer 1

d.) zur Kontrolle : 3, 12 Std

e.)
am Anfnag bei x = 0 ist der Alkoholgehalt schon einmal gleich. Grins.
Bei 3.12 ist der größte Unterschied in den Berechnungsweisen.
Vermutung bei ca 6.5 oder 7 könnten die Werte in etwa gleich sein.

2 Vorgehensweisen gibt es
- 7 als Startwert für das Newton-Verfahren einsetzen
- Für x = 7 bei beiden Funktionen die Funktionswerte berechnen
und dann durch einsetzen eines neuen Werts wieder berechnen
bis die 0 erreicht ist oder sich das Vorzeichen der Differenz ändert.
In der Aufgabenstellung wird auch nur nach " näherungsweise "
gefragt.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1,8-0,2·xf₂(x) = 1,8·0,8^x

Comments

Könntest du vielleicht den genauen Rechenweg von der d) aufschreiben? Bekomme das irgendwie mit der Ableitung nicht hin...

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Die Differenzfunktion lautet
d(x) = f(x) - g(x) = ( 1.8 - 0.2x ) - ( 1.8 * 0.8^x )
d(x) = 1.8 - 0.2x  - 1.8 * 0.8^x
Der Einfachheit halber zum Ableiten
ändere ich die Exponentialfunktion
0.8^x in eine Funktion zur Basis e um
0.8^x = e^(x*ln[0.8])
d(x) = 1.8 - 0.2x  - e^(x*ln[0.8])
Ableiten
Allgemein
( e^term ) ´ = e^term * term ´
term =  x*ln[0.8]
term ´ = ln(0.8)
d ´( x ) = -0.2 - 1.8 * e^(x*ln[0.8]) * ln(0.8)

Extremwert
-0.2 - 1.8 * e^(x*ln[0.8]) * ln(0.8) = 0
1.8 * e^(x*ln[0.8]) * ln(0.8) =- 0.2
e^(x*ln[0.8]) = -0.2 / ( 1.8 * ln(0.8))
e^(x*ln[0.8]) = 0.4979 | beidseitig ln anwenden
x*ln[0.8] = ln ( 0.4979)
x = 3.125

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vielen Dank, und was passiert mit der zweiten 1,8 in der dritten Zeile? Fällt das einfach weg?

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d(x) = 1.8 - 0.2x  - e^(x*ln[0.8])

Summandenweises ableiten
( 1.8 ) ´ = 0
( 0.2 * x ) ´ = 0.2
( e^(x*ln[0.8]) ) ´ = e^(x*ln[0.8]) * 0.8