Quasiordnung ist notwendigerweise Äquivalenzrelation

Question

Sei R eine Quasiordnung auf der Menge M. 

Wir definieren eine Relation ∼R folgendermaßen: 

Für alle x,y∈M ist x∼R y genau dann wenn( x,y)∈R oder (y,x)∈R.

Ist R notwendigerweise eine Äquivalenzrelation? Beweisen Sie Ihre Antwort. 

Answer 1

Es ist keine Äquivalenzrelation. Sei M = {a,b,c}, R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)}. Dann ist b~_Ra, weil (a,b)∈R und a~_Rc, weil (a,c)∈R. Es ist aber nicht b~_Rc, weil weder (b,c)∈R, noch (c,b)∈R. Die Relation ~_R ist also nicht transitiv.

Comments

R ist eine Quasiordnung auf der Menge M, die reflexiv und transitiv ist. 

R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c)} ist keine Quasiordnung? 

oder verstehe ich die Aufgabe falsch? 

---

Mein angegebenes R ist reflexiv und transitiv, also eine Quasiordnung.

---

"Die Relation ~_R ist also nicht transitiv." Der Satz ist komisch. Gilt das dann auch für die Quasiordnung? Die muss ja Transitiv sein.

---

> Gilt das dann auch für die Quasiordnung? Die muss ja Transitiv sein.

Wenn du nicht glaubst, dass mein R transitiv ist, dann kannst du ja drei Elemente x,y,z in M suchen, so dass (x,y) ∈ R und (y,z) ∈ R, aber (x,z) ∉ R.

Für ~_R habe ich solche drei Elemente gefunden.