Wie löst man diese Exponentialgleichung (1/8)*2^x = 2x-2?

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hallo,

ich möchte den/die schnittpunkte eines graphen einer linearen funktion mit einer exponentialfunktion berechnen. als gleichung kommt dann dabei raus:

$$ \frac{1}{8}·2^x = 2x-2 $$

wie löse ich soetwas nach x auf?

danke,

thilo

Gefragt 19 Mär 2012 von Thilo87 Experte IV

2 Antworten

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Beste Antwort
Die Lösung einer solchen Aufgabe ist nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß im Allgemeinen eine transzendente Zahl, das heißt eine Zahl, die nicht die Lösung irgendeines algebraischen Terms ist. Diese Zahlen sind in einem gewissen Sinn noch schwerer zu begreifen als die irrationalen Zahlen, deshalb nennt man sie eben transzendente Zahlen.

Ich denke, das würde jetzt zu weit führen, das ganze Konzept zu erklären (zumal ich von denen quasi auch nur mal gehört habe), aber es wird wohl reichen dir zu sagen, dass es keinen algebraischen Ausdruck für diese Zahl gibt. Es gibt die Möglichkeit gewissen Funktionen zu verwenden, die nur implizit definiert sind (z.B. der sogenannte Produkt-Logarithmus, der die Umkehrfunktion von f(x)=x*e^x ist), um eine Beschreibung der Lösung zu geben und man kann sie natürlich numerisch annähern, aber einen exakten Ausdruck kann man mit den "gewöhnlichen" Funktionen, die explizit definiert sind, nicht angeben.

In solchen Fällen ist es deshalb üblich, nur anzugeben, wie viele Lösungen es gibt und wo sie ungefähr liegen.

Teilt man die Gleichung durch 2, so erhält man erstmal eine vereinfachte Form:

2^(x-4)=x-1

(Nicht verwirren lassen: Im folgenden verwende ich parallel x für die Variable des Terms und z_1, z_2, bzw. einfach z als Bezeichnung für die möglichen Lösungen.)

Links steht jetzt eine Exponentialfunktion, die immer positiv ist, der Term rechts hat eine Nullstelle bei x=1, also können die möglichen Lösungen nur größer als 1 sein. Verdeutlicht man sich den Verlauf der beiden Funktionen, so erkennt man, dass x-1 entweder Passante, Tangente oder Sekante von 2^(x-4) ist und es deshalb entweder keine, eine oder zwei Lösungen gibt.

Für x=1 ist der lineare Term offenbar kleiner als der exponentielle Term, für x gegen unendlich ebenfalls.

Findet man also eine einzige Stelle z€[1, unendlich[ für die der lineare Term größer ist als der exponentielle, so ist sofort klar, dass es zwei Lösungen gibt.

Wählt man z.B. z=4 so ist diese Bedingung erfüllt, denn 2^(4-4)=1<3=4-1.

Das heißt eine Lösung z_1 liegt zwischen 1 und 4 und die zweite Lösung zwischen 4 und unendlich.

 

Macht man so weiter, so kann man die möglichen Lösungen immer weiter einschränken und so schließlich einen beliebig kleinen Bereich angeben, in dem die Lösungen sich befinden.

 

Natürlich gibt es auch einige numerische Verfahren zur Lösung, so kann man z.B. das Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen benutzen oder eine Taylor-Entwicklung der Funktion erzeugen und die Funktion damit beliebig exakt durch Polynome annähern.

Man erhält dann in etwa die Lösungen

z_1 ≅ 1.137

z_2 ≅ 6.445

 

Es ist aber noch anzumerken, dass das natürlich höhere Mathematik ist - falls du irgendeinen Begriff nicht verstanden hast, würde ich dir empfehlen, nicht aufzugeben, sondern sich z.B. den Wikipediaartikel durchzulesen, oder noch einmal nachzufragen.
Beantwortet 19 Mär 2012 von Julian Mi Experte X
danke, das hat mir weitergeholfen :)
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Sehr schöne Antwort von Julian Mi.

Hier noch der Funktionsgraph, die zwei Lösungen für x sind dort in etwa ablesbar.

~plot~1/8*2^x;2x-2;[[-8|16|-4|14]]~plot~

Wahrscheinlich ist das Newton-Verfahren für die Findung der Lösungen hier am Geeignetsten.

 

@Julian: Seit ein paar Tagen kannst Du auch "z_1" als z₁ schreiben. Tief- und hochgestellte Zahlen und Zeichen +-=() sind jetzt im Editor möglich!

Beantwortet 20 Mär 2012 von Matheretter Experte V

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