Repräsentantesystem bestimmen

Question

für natürliche Zahlen ℕ/{0} sollen wir die Relation ~ betrachten unter der Bedingung:

a~b ⇔ nach eventuellen Kürzen sind Zähler u. Nenner von a/b beide ungerade.

wobei wir dann den vollständigen Repräsentantensystem angeben sollten.

Wir hatten mal als Nebenaufgabe die Äquivalenzklasse von 1 und 2 zu bestimmen, wo ich:

[1] = {1,3,5,7,9........} = { b ∈ ℕ/{0} (1~b) | b ist ungerade }

und

[2] = {2,,6,10,14,18,......} ={ 2 * k | k ∈ [1] }

berechnet habe.

Wäre es jetzt richtig, wenn ich die [1] als Repräsentantensystem aller Äquivalenzklassen angebe mit den Argument:

- Alle Elemente von [1] sind auch im ℕ/{0} drin (also ist [1] eine Teilmenge von ℕ/{0}).

- für alle geraden ÄK [a] sind ofensichtlich die Elemente von [1] erhalten und für geraden [a] gilt { a * k | k ∈ [1] }

Comments

Wäre es jetzt richtig, wenn ich die [1] als Repräsentantensystem aller Äquivalenzklassen angebe

Nein. Ein vollstaendiges Repraesentantensystem besteht aus genau einem Element jeder Klasse.

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Wie könnte ich dann die vollständige Repräsentantensystem angeben? Wenn ich genau ein Element aus jeder Klasse herausnehmen soll, fällt mir echt nur  1,2,3,4.........n n∈ℕ/{0} für jede Klasse [a] ein.

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Es gibt genau zwei Klassen: {1, 3, 5, ...} und {2, 4, 6, ...}.

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also wäre die Repräsentantensystem {1,2} ?

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{1, 2} ist ein vollstaendiges Repraesentantensystem für die angegebene Relation. {5980, 173659} waere z.B. auch eines.

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Und da in der Aufgabenstellung auch steht, gebe eine an ist es auch richtig so, Vielen Dank :D

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Ich hab Deine Relation leider nur schlampig angeguckt. Es gibt mehr als zwei Klassen. Die muesstest Du natuerlich zuerst alle bestimmen, bevor Du ein vollstaendiges Repraesentantensystem angeben kannst.

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gefragt war ein vollständiges Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen, da wäre dann die RS aller ÄK der 1 bis n n∈ℕ/{0} gefragt. Aber ich denke die wäre immer noch {1,2} da für ungerade ÄK 1 (nach Bedingung) auf jeden Fall drin ist und für gerade ÄK 2.

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immer hin lautet die bedingung a/b mit beide Nenner und Zähler ungerade, und für ungerade ÄK (1,3,5........) gilt 1 als Element aller Klassen (1/1 , 3/1, 5/1) und für gerade ÄK (2,4,6.,....) gilt 2 (da 2/2, 4/2, 6/2 durch kürzen ungerade wird).

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Ich sehe, Du hast Die Relation auch nicht verstanden. Das ist bei Dir schlimmer als bei mir, denn es ist schliesslich Deine Aufgabe.

Zwei Zahlen stehen in Relation, wenn in ihren jeweiligen Primfaktorzerlegungen die 2 genau gleich oft drinsteckt. Alle Elemente einer Klasse sind von der Form 2^mu mit festem m und ungeradem u.

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tatsöchlich habe ich den konzept der Relation nicht ganz verstanden. Deshalb wöre es ilfreich wenn jemand die Lösung mir verständlich erklären könnte, da die definitionen in wiki unverständlich für mich ist.

Answer 1

\(a\sim b\) uebersetzt sich hier in: In der Primfaktorzerlegung von \(a\) kommt die \(2\) genauso oft vor wie in der Primfaktorzerlegung von \(b\). Damit sieht man auch gleich, dass es sich um eine Aequivalenzrelation handelt.

Die Aequivalenzklassen sind \(K_m=\{2^m u: \text{$u$ ungerade}\}\).

Ein vollstaendiges Repraesentantensystem ist \(\{1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots\}\).