Funktion f mit Graph K + Normale und Tangente

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 1/8x³- 3/2x² + 9/2x ; x∈R mit Graph K. Die Normale und die Tangente von K in W(4|2) bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Berechnen sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Erklärung für ganz Dumme bitte? Die funktion muss ich ja zeichnen oder? Aber woher weiß ich wo und wie?

Answer 1

Aber woher weiß ich wo und wie?

Bestimme Nullstellen und Extrempunkte, dann hast du schon etwas.

Wendepunkt bekommst du mit f ' (x)  = 0  gibt x = 4    y = 2

Tangente hat dort Steigung f ' (4) = -3/2 also Gleichung

y = -3/2 x + n   und mit  x = 4    y = 2     n=8 also

y = -3/2 x + 8  und Normale

y =  2/3 x + n mit  x = 4    y = 2     n= -2/3

y =  2/3 * x - 2/3

Dreieck mit der x- Achse hat Grundseite zwischen den Nullstellen von Tang. und Norm

das wäre zwischen 1 und   16/3   also  g = 13/3

und Höhe ( y- Wert von W )  h = 2

also Fläche A = g*h / 2 = 13/3  

~plot~1/8x^3-3/2x^2+9/2x;2/3x-2/3;-3/2x+8;{4|2}; [[0|7|-2|5]]~plot~