Behauptungen beweisen (mit Gruppoiden). absorbierendes und neutrales Element.

Question

Sei G = (M, o ) ein Gruppoid und sei 2^G = (2^M; o_K) ein Gruppoid
(wobei o_K das Komplexprodukt ist). Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

a) G besitzt höchstens ein absorbierendes Element.

b) 2^G hat ein neutrales Element genau dann, wenn G ein neutrales Element hat.

Ich verstehe diese Aufgabe einfach nicht, ich hoffe es kann wer helfen

lg Saskia

Answer 1

G besitzt höchstens ein absorbierendes Element.

heißt ja nur: Es gibt keinesfalls zwei verschiedene

Seien also a und b absorbierende Elemente von (2^M; o_K).

Dann gilt für alle N aus 2^M (also für alle Teilmengen von M)

(i)  a  o_K N = a  und

(ii)    N  o_K a = a   und

(iii)   b  o_K N = b  und 

(iv)   N  o_K  b =  b 

also insbesonder    a  o_K b = a wegen (i)  mit N=b

und     a  o_K b =  b   wegen (iv)  mit N=a

also ist   a  o_K b sowohl  gleich a als auch gleich b, also

sind a und b gleich. (Symmetrie und Transitivität der

Gleichheitsrelation.)

Comments

 Dass immer a bzw. b rauskommen muss versteh ich ja, das wurde ja hier gezeigt, aber ist das auch schon ein Beweis?

danke und lg Saskia

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Je nachdem auf welche Eigenschaft du dich stützt, kommt mal a und mal b raus. Da beide Eigenschaften aber gelten, müssen beide gleich sein. Klar ist das ein Beweis.

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Alles klar, dann bedanke ich mich bei dir!

lg Saskia

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Hi, ich hoffe du siehst das hier noch...

Ich versteh immer noch nicht, wo die Behaupting mit dem neutralen Element bewiesen wurde?
Du schreibst nur was über absorbierendes, doch geht es bei der b) um das neutrale Element?

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zu b habe ich nichts geschrieben. Ist mir so spontan nichts zu eingefallen.

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Aber du hast a und b irgendwie vermischt :)

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Ich meine nicht: Hab nur die Def. von "absorb. El." benutzt.