Bedingte Wahrscheinlichkeit: Aus einer Menge {1, 2, ..., 100} werden zwei verschiedene Zahlen zufällig herausgegriffen

Question

Frage:

Aus einer Menge {1, 2, ..., 100} werden zwei verschiedene Zahlen zufällig herausgegriffen. Wenn die kleinere der beiden <= 20 ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann die größere >= 80?

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Ich hab mir folgendes gedacht:


Sei A20 das Ereignis, dass eine Zahl kleiner gleich 20 gezogen wird.

A80 das Ereignis, dass eine Zahl größer gleich 80 gezogen wird.


1. Schritt: Erste Kugel wird gezogen = 1/100

2. Schritt: Zweite Kugel wird gezogen = 1 / 99 (da es ja nun eine Kugel weniger gibt)

Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten von Zahlen <= 20 und >= 80:

20 * 20 = 400


P(A20 und A80) = 400 / 9900 = 4 / 99


Wie mache ich jetzt weiter? Oder reicht das?

Answer 1

Das ist bedingt Wahrscheinlichkeit.

Also
A: Die größere Kugel ist >= 80
B: Die kleinere Kugel ist <= 20

P(A und B) = (20 über 1) * (21 über 1) / (100 über 2) = 14/165

P(B) = ((20 über 2) + (20 über 1) * (80 über 1)) / (100 über 2) = 179/495

P(A|B) = P(A und B) / P(B) = 14/165 / (179/495) = 42/179 = 23.46%

Ich hoffe ich habe mich in der Rechnung nicht vertan.

Comments

Wie kommst du bei P(B) auf die (20 über 2) ? Also ich meine, welcher Gedanke steckt dahinter ?

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P(B) ist die Wahrscheinlichkeit das die kleinere Kugel unter den 20 ist. Das haben wir bestimmt vorliegen, wenn beide Kugeln im Zahlenraum bis 20 liegen. Also ich 2 aus diesen 20 gezogen habe. Möglichkeiten dafür gibt es (20 über 2). Weiterhin gehört zu der Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel im Zahlenraum bis 20 liegt und eine im Zahlenraum darüber. Die Möglichkeiten dafür sind (20 über 1) * (80 über 1). So setzt sich also meine Wahrscheinlichkeit zusammen.