Fläche des Rechtecks unter Funktion maximieren: f(x) = -9x^2 + 15x.

Question

ich habe folgende Funktion:

Diese schließt eine Fläche oberhalb der x-Achse ein. wie groß kann ein Rechteck innerhalb dieser Fläche max werden?

ich habe zwar eine Lösung gefunden mit dem Ansatz: Sx= -b /2a  - > A=2(x -Sx) * f(x)

allerdings ist mir diese Lösungsweise zu komplex als dass ich sowas im Notfall ohne Taschenrechner bestimmen muss.

Das Ergebnis soll 4,02 lauten.

meine Idee:

A= a * b    -> a=x b=f(x)

jetzt müsste ich irgendwie den Wert von x ermitteln für den A= max wird und dabei komme ich leider nicht weiter ;/

Answer 1

f ( x ) = - 9 * x^2 + 15 * x

A= a * b    -> a=x b=f(x)

jetzt müsste ich irgendwie den Wert von x ermitteln
für den A= max wird und dabei komme ich leider nicht weiter ;/

Die Lösung geht nur über die Differentialrechnung

Geht gleich weiter. Hier schon einmal die Funktionsskizze.

~plot~  - 9 * x^2 + 15 * x ; [[  0 | 2 | 0 | 7 ]] ~plot~

Comments

f ( x ) = - 9 * x² + 15 * x
f ´( x ) = -18 * x + 15
Extremwert am Scheitelpunkt
-18 * x + 15 = 0
x = 15/18 = 5 / 6

Die Funktion verschiebe ich erst einmal zur Mitte.

f ( x ) = - 9 * ( x + 5/6)² + 15 * ( x + 5/6 )

~plot~ - 9 * ( x + 5/6)² + 15 * ( x + 5/6 ) ; [[ -1 | 1 | 0 | 7 ]] ~plot~

---

Die Aufgabe ist eine Extremwertaufgabe.
Kannst du diff-Rechnung ?
Dann kann es weitergehen.

---

ja, soweit komme ich mit, hatte den extrempunkt auch grad ausgerechnet

---

Wenn ich die Frage richtig verstehe, soll dieser Parabel ein Rechteck einbeschrieben werden.

EDIT: Sehe gerade, dass ihr weitermacht. Mein Kommentar kann gelöscht werden.

---

ja, das maximal mögliche zwischen funktion und x-achse

---

also die fläche zwischen funktion x-achse zu ermitteln wäre kein probelm. aber wie komme ich auf die seitenlängen des rechtecks? und was setzte ich für x dann ein? 5/6?

---

f ( x ) = - 9 * ( x + 5/6)² + 15 * ( x + 5/6 )
ausmultiplizieren und vereinfachen zu
f ( x ) = 25 / 4 - 9 * x^2
A ( x ) = x * ( 25 / 4 - 9 * x^2 )
A ( x ) = 25 / 4 * x - 9 * x^3
A ´( x ) = 25/4 - 27 * x^2

25/4 - 27 * x^2 = 0
x = 0.4811

A ( x ) =  x * ( 25 / 4 - 9 * x^2 )
A ( 0.4811  ) = 0.4811 * ( 25 / 4 - 9 * 0.4811^2 )
A = 2.005

Die Fläche muß verdoppelt werden.
A = 4.01

---

f ( x ) = 25 / 4 - 9 * x²
f ( 0.4811 ) = 25 / 4 - 9 * 0.4811^2
f / x ) = y = 4.167

~plot~ -9*(x+5/6)^{2}+15*(x+5/6);[[-1|1|0|7]] ; x = 0.4811 ; x = -0.4811 ; 4.167 ~plot~

---

-hmm dann ist das wichtigste wohl die funktion erst mal zu verschieben damit ich nur eine hälfte der fläche berechnen muss und diese dann logischer weise verdoppel?

-dann a * b bestimmen und dies für randwert X ableiten.

---

meine überlegung vorher war einfach A= x * f(x)
dann das ableiten und nullsetzen -> x = 1,11
Das dann in A(1,11) = x *(fx)
und dann kommt ein falscher flächenwert ( 6,14) raus?
der knackpunkt scheint wirklich die spiegelung an der y-achse zu sein.

Ich danke dir, du hast mir sehr weiter geholen für meine klausur. Ich denke mal das in dieser leichtere aufgaben drankommen da weder formelsammlung noch taschenrechner erlaubt sind.

---

Die Verschiebung muß nicht sein macht aber die weiteren
Berechnungen deutlich einfacher.

---

Noch der Hinweis : mal dir ruhig zuerst eine Skizze
auf. Dann wäre dir dein Fehler A = x * f ( x ) sicherlich
beim Einzeichnen des Rechtecks aufgefallen.