Bestimme den Grenzwert der Reihe (-1)k/(2k+1)

Question

Gegeben ist 
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$
nun soll ich den Grenzwert dieser Reihe bestimmen. Es ist klar dass der Grenzwert irgendwo zwischen 0 und 1 liegt, da der Bruch immer kleiner wird und das Vorzeichen sich jedes mal wechselt, aber ich weiß nicht wie man genau auf den Grenzwert kommt.

Comments

müsste es nicht +-0 sein?

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Gott liebt die ungeraden Zahlen -- aber Dich scheinbar nicht. :)

Answer 1

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2k}}{4k+1} +\frac{(-1)^{2k+1}}{4k+3}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4k+1} -\frac{1}{4k+3}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{4k+3}{(4k+1)(4k+3)} -\frac{4k+1}{(4k+1)(4k+3)}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(4k+1)(4k+3)}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{16k^2+12k+3}$$

...

(ohne Gewähr)

Comments

Soll wohl $16k^2+\color{red}{16k}+3$ im Nenner heißen. Was ist mit dieser Umformulierung gewonnen?

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ich bin gestern unterbrochen worden und eigentlich wollte ich das auch nicht so posten. Nun aber die korrigierte Version:

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2k}}{4k+1} +\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(2k+1)}}{2(2k+1)+1}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4k+1} - \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2(2k+1)+1}$$
$$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4k+1} - \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4k+3}$$
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5k-1} - \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5k+1}$$
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{5k+1}{25k^2-1} - \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{5k-1}{25k^2+1}$$
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(5k+1)-(5k-1)}{25k^2-1}$$
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2}{25k^2-1}$$
$$2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{25k^2-1}$$
$$\frac2{25} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2-\frac 1{25}}$$

Die Formel für die Berechnung einer solchen Reihe ist geradezu trivial:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+k%3D1+to+infinity+%28…

(kleiner Scherz meinerseits)

Vielleicht hat jemand eine bessere Idee und ich bleibe weiterhin Pazifist: ohne Gewähr (ä=e)

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Das meinst du nicht wirklich?

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wurzel aus ( pipi durch 16)

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Keks mit 52 Zähnen

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Das Ergebnis ist Pi/4.

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@ willyengland

Best Antwort !