Lokales Extremum Integral

Question

gesucht ist das Integral  I(y):= ∫_o^y   g(x) dx, wobei g(x) = (x-1) / (x³+2x²-x-2) für y>0.
Dieses ergibt:
/?qa=blob&qa_blobid=4510702795825878413

Wie betrachte ich hier die Grenzen?

Meine Frage ist zudem kann dieses ein lokales Extremum besitzen und existiert ∫₀^∞ für g(x) ? falls ja wie berechne ich das?

Vielen Dank !!

Answer 1

I(y):=  ∫_o^y  (x-1) / (x³+2x²-x-2) dx  =  [ - ln(|x+2| + ln(x+1|) ]_o^y  

= - ln|y+2| + ln(|y+1|) - ( - ln(|0+2|) + ln(0+1|) =- ln(y+2) + ln(y+1) - ln(1) 

I(y) = - ln(y+2) + ln(y+1) + ln(2) 

I: ] 0 ; ∞ [  → ℝ  ;  I(y) = - ln(y+2) + ln(y+1) + ln(2)   ist eine Funktion  mit der Ableitung

I '(y) = (y-1) / (y³+2y²-y-2) =_y≠1 = 1 / [ (y+1) • (y+2) ] > 0   für alle y ∈ ] 0 ; ∞ [ 

I ist also streng monoton steigend → I(y) hat kein Maximum 

lim_y→0+  I(y) = 0  und  lim_y→∞  I(y) = lim_y→∞  (ln((y+1) / (y+2) + ln(2)) = ln(2)

Gruß Wolfgang