Rang und Kern Bestimmung eines linearen Gleichungssystems

Question

Hallo...

Ich sitze gerade an meinen Lineare Algebra Aufgaben und bräuchte wem der meine Ergebnisse bestätigt.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie den Rang der Matrix A so wie den Rang der erweiterten Matrix (A/B)

den Kern der Matrix

die allgemeine Lösung des Gleichungssystems

2x₂-x₃=-1

2x₁+x₂-x₃=1

Ich komme zu dem Ergebnis Rang A= (A/B) =2, Dim Kern=2, Kern={(2,0,0),(0,-1,0)} und das es unendlich viele Lösungen gibt. Eine mögliche Lösung konnte ich allerdings nicht berechnen.

Answer 1

Dein Kern stimmt nicht !! Zweiter Vektor ist falsch !!!

Comments

Der erste auch !! Du musst das Gleichungssystem Ax=0 lösen !!!

Answer 2

2x₂-x₃=-1

2x₁+x₂-x

Kern:

0     2     -1  
2     1     -1

weil du nur zwei Gleichungen aber drei Var hast,

kannst du z.B. x3 frei wählen etwa t

2x2 - t = 0     also    x2 =  t/2 

2x1 + t/2  - t = 0   gibt     x1 = t/4

also alle Elemente vom Kern sehen so aus

( t/4  ;    t/2   ;   t )    =   t  *  (   1/4  ;    1/2    ;  1 )   also 1- dimensional.

für eine möglich Lösung gehst du genauso vor

etwa  x3=t

2x^2  - t = -1   gibt   x2 =  (-1+t) / 2

2x1 + (-1+t) / 2  -  t  =   1  gibt  x1 = (t+3)/4

also Lösungen

( (t+3)/4   ;   (-1+t) / 2  ; t )  =  ( 3/4  ;   -1/2    ;    0  )  +  t * ( 1/4   ;   1/2   ;   1 )  

Comments

OK und wie genau siehst man das ein Kern überhaupt existiert? Die Definition ist doch das die Menge aller Vektoren für die Ax=0 ist den Kern darstellen. Deshalb hab ich umgeformt so das ich

2	-1	0
0	2	-1

stehen habe. Und weil 2,-1,0 =0 ist, hab ich angenommen das da der Kern mit {(2,0,0),(0-1,0)} besteht. Ist das jz also ein Denkfehler?

Danke für die vorherige Antwort

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Das sind doch eigentlich Gleichungen, also die erste etwa

2x1 - x2 + 0x3 = 0

und jetzt kannst du eine Variable frei wählen (x1 oder x2) und rechnest dann

die andere aus.

Und die Ergebnisse setzt du in die zweite Gleichung ein.