Unter allen Rechtecken mit einem gegebenen Umfang u hat das Quadrat den größten Flächeninhalt

Question

Bitteeee um Hilfe komme nicht weiter::((   

Satz: Unter allen Rechtecken mit einem gegebenen Umfang u hat das Quadrat den größten
Flächeninhalt

a) Beweisen Sie den Satz mit Hilfe der Figur in der Abb. 1. Dort ist ABCD ein Quadrat, AEFG ein
Rechteck. Der Beweis läuft im wesentlichen darauf hinaus, dass man Quadrat und Rechteck
miteinander vergleicht.
b) Beweisen Sie den Satz unter Benutzung der Figuren in Abb.
Bemerkung: In Abb. 2 links unten ist das Quadrat im Inneren der Figur nicht gleich Q!

 

Answer 1

a)

ABCD ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a.
Also beträgt der Umfang 4*a und die Fläche a^2

AEFG ist ein Rechteck.
Der Umfang beträgt ebenfalls 4*a, nämlich 2*(a+x) {AE und GF}+ 2*(a-x) {AG und EF} = 2a + 2x + 2a - 2x

Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt:
(a+x) * (a-x) = a^2 - ax +xa - x^2 = a^2 - x^2

Da x^2 >0, ist der Flächeninhalt des Rechtecks also kleiner als der des Quadrats.
An b) möge sich jemand anderes versuchen :-)

Comments

Gut, dann versuche ich mich noch an der Aufgabe

b)

R hat den Umfang 2a + 2b

Q hat den Umfang 4*(a+b)/2 = 2*(a+b) = 2a + 2b

Der Umfang des Rechtecks ist also gleich dem Umfang des Quadrats.
R hat die Fläche a*b

Q hat die Fläche [(a+b)/2]^2 = (a+b)/2 * (a+b)/2 = [(a+b)^2]/4 = (a^2 + 2ab + b^2)/4

Nehmen wir 4*Q, so erhalten wir das große Quadrat rechts unten.

Nehmen wir stattdessen 4*R, so erhalten wir die Figur unten in der Mitte.
Man sieht, dass dieser Flächeninhalt um das Quadrat im Inneren der Figur kleiner ist als das

"Q-Quadrat" rechts.