Extremalprobleme und Rekonstruktion-Anwendungsaufgabe

Question

sitze sitze grad an einer Anwendungsaufgabe zum Thema Extremalprobleme und Rekonstruktionen von Funktionen. Bei der Anwendungsaufgabe habe etwa 14 schon geschaft, aber beim Rest bin ich mir nicht so sicher bzw. komme ich nicht weiter.

Die Aufgabenstellung:

Aus drei Blechteilen soll eine Rutschbahn für das Schwimmbad entsprechend der
Abbildung zusammengesetzt werden.
Für das gebogene Stück, das ohne Knick an die geraden Teile anschließt, soll ein Konstruktionsplan erstellt werden. Dazu muss eine Funktionsgleich erstellt werden.
Bestimmen Sie die Gleichung einer Polynomfunktion dritten Grades, deren Graph passend geformt ist.

Hier seht hier das alles nochmal als PDF-Format+Abbildung.

scharff.files.wordpress.com/2009/02/ruschbahnproblem.pdf

Nun zu meiner Idee:

Am Anfang natürlich die Ableitung bilden :

f(x)=a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+d
f´(x)= 3a⋅x2+2b⋅x+c
f´´(x)= 6a⋅x+2b

Von der Abbildung her erkenne ich einen Tiefpunkt (−32). Und natürlich den Punkt (00). Außerdem erkenne ich eine Tangente, die schwarz gekennzeichnet ist auf dem Bild. Da die Steigung der Tangente m=2 ist, kann ich die erste Ableitung gleich 2 setzen.

f´=2
2=3⋅a⋅02+2⋅v⋅0+c
c=2

Punkt (00)

f(0)=a⋅03+b⋅02+c⋅0+d
d=0

Nun den TP (−32)

f(−3)=a⋅(−3)3+b⋅(−3)2+2⋅(−3)+0
1.)−27a+9b−6=2


Weiter bin mir halt unsicher. Soll ioch x=3 noch in die 1.Ableitung einsetzen und was soll ich danach machen das LSG ( Substationsverfahren ).

Kann mir jemand weiterhelfen bzw. korrigieren.

Ich bedanke mich in Voraus.

MBAMG63

Answer 1

Bekannt sind
f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
Weil ein Punkt ( 0 | 0 ) ist ist d = 0
( der y-Achsenabschnitt ist 0 )
es bleibt

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

f ( -2 ) = -3
f ´ (  -2 ) = 0 ( die Steigung im Tiefpunkt ist 0 )
f ´(  0 ) = 2 ( hast du auch schon erkannt )

f ( -2 ) = a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c *(-2) = -3
-8 * a + 4*b - 2 * c = -3
f ´( -2 ) = 3 * a * (-2)^2 + 2 * b * (-2) + c = 0
12 * a - 4 * b + c = 0
f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 2  => c = 2

-8 * a + 4*b - 2 * 2 = -3
12 * a - 4 * b + 2 = 0   | addieren
--------------------------
4 * a - 2 = -3
4 * a = -1
a = -1/4

So. Das Endergebnis ist

f(x) = -0,25·x^3 - 0,25·x^2 + 2·x