Direkter Beweis, a,b Element R

Question

Hi,

dies ist meine Aufgabe:

a,b element R (ohne 0); Zeige direkt:

a + (1 / a) = b ⇒ a³ + (1 / a³) = b³ − 3b.

Um etwas direkt zu beweisen, zeige ich ja a -> b;

Wie kann ich also die linke Seite so umformen, dass ich zur rechten komme? Habt ihr einen Tipp? :)

Edit: Kann ich einfach b aus dem ersten Teil der Aussage in den zweiten Teil einsetzen, dann ausklammern und umformen und es damit beweisen?

Answer 1

a + (1 / a) = b     #

(  a + (1 / a) ) ³  = b³ 

a³ + 3a²* (1/a) + 3a *1/a²  + (1 / a) ³ = b³

a³ + 3a+ 3/a  + (1 / a) ³ = b³      und   3a + 3/a = 3* ( a + 1/a ) = 3b wegen

also

a³ + 3b  + (1 / a) ³ = b³ 

a³  + (1 / a) ³ = b³  - 3b     q.e.d.

Answer 2

ja kannst du, warum hasst du es nicht schon längst versucht?

Ausklammern und Umformen brauchst du nicht sondern einfach nur banal Ausmultiplizieren und Zusammenrechnen.

Gruß