Das Ganze ist doch nix weiter als eine Verständnisfrage. Hier das LGS
2 x - a y - 6 z = 1 ( 1a )
2 x - y - z = 1 ( 1b )
2 x - y - 2 z = 1 ( 1c )
Kompliment Junge; ich halte dich für Genial. Du bist immerhin der erste Student, der nicht Schwanz wedelnd wie ein Dackel dem Prof bzw. Assistenten hinterher kläfft. Du hast dich unabhängigen eigenen Gedanken hingegeben; dir ist aufgefallen, dass LGS ( 1a-c ) einen ===> Fixpunkt besitzt.
Aber auch ich mach mir so meine eigenen Gedanken. Jetzt vergiss mal die ganzen Lösungsstrategien aus der Vorlesung und denke " holistisch " In ( 1b ) ist nämlich vermerkt, welchen Wert die kombinierte Unbekannte " 2 x - y - z " hat - und zwar Eins. Diese Kombination - du kannst von mir aus " u " dafür substituieren - tust du wörtlich 1 : 1 in ( 1c ) einsetzen. Dann ersiehst du doch unmittelbar aus ( 1c ) , dass z = 0 . Klar, wie ich das meine? Wenn du nur dein Oberstübchen richtig programmierst, bedarfst du für diesen Rechenschritt nicht mal eines schriftlichen Protokolls.
Wir haben gefunden z = 0 . Jetzt setze schon mal z = 0 ein in ( 1a-c ) ; die Gleichungsnummern ( a-c ) behalte ich übrigens bei, damit du den Überblick behältst.
2 x - a y = 1 ( 2a )
2 x - y = 1 ( 2b )
2 x - y = 1 ( 2c )
( 2bc ) erweisen sich als linear abhängig. Jetzt liegt es doch nahe zu setzen a = 1 . Dann stellt ( 2a-c ) ein LGS vom Rang 1 dar; ( 2b ) ist doch nichts weiter als die Gleichung einer Ebene im Raum. Auch z = 0 ist genau genommen ja auch nichts weiter als die Bedingungsgleichung für die x/y-Ebene; somit wäre im Falle a = 1 die Lösung von ( 1a-c ) gleich der ===> Knotenlinie dieser beiden Ebenen. Du kannst dir somit ( 2b ) vorstellen als Geradengleichung der Knotenlinie in der x/y-Ebene.
Jetzt waren aber alle a gefragt; angesagt ist das Subtraktionsverfahren ( 2b ) - ( 2a )
( a - 1 ) y = 0 ===> y = 0 ( 3 )
Weil nach dem Satz vom ===> Nullprodukt muss, so lange a nicht Eins ist, die Klammer also nicht verschwindet, y = 0 gelten. Dann folgt dein x-Wert aus ( 2b ) ; wir haben in der Tat einen Fixpunkt.
Angeregt durch deine Überlegungen, habe ich mich übrigens nach den Bedingungen gefragt, wann ein solcher Fixpunkt möglich ist. So lange ( 1a-c ) linear unabhängig, die Lösung mithin eindeutig ist, lässt sich die Lösung durch die ===> Cramersche Regel ausdrücken. Dabei geht a nur in den Nenner ein in die ===> Determinante der KM . Und zwar, wenn du bedenkst, wie man eine Determinante bildet, ist die Abhängigkeit der Lösung von a eine gebrochen rationale Funktion, also die Lösung bildet eine differenzierbare ===> Raumkurve
x ( a ) ; y ( a ) ; z ( a ) ( 4 )
Ich kann also her gehen und unter Beachtung von Produkt-und Kettenregel ( 1a ) ableiten nach a .
2 ( dx/da ) - y - a ( dy/da ) - 6 ( dz/da ) = 0 ( 5a )
Die Null auf der rechten Seite von ( 5a ) erklärt sich als Ableitung einer Konstanten. Notwendige Bedingung für Fixpunkt ist die Stationaritätsbedingung
( dx/da ) = ( dy/da ) = ( dz/da ) = 0 ===> y = 0 ( 5b )
Hinreichende Bedingung; setzen wir jetzt y = 0 in ( 1a-c )
2 x - 6 z = 1 ( 6a )
2 x - z = 1 ( 6b )
2 x - 2 z = 1 ( 6c )
Da die Abhängigkeit von a eliminiert wurde, stünde der Existenz eines Fixpunkts an sich nichts mehr im Wege. Aber schon Schüler spüren, was hier nicht stimmt: Du hast mehr Gleichungen als Unbekannte; das LGS ist " überbestimmt " Genauer:
Zeilenrang = Spaltenrang; die KM von ( 6a-c ) kann höchstens Rang 2 haben ( 2 Spalten ) Die erweiterte KM ist jedoch quadratisch vom format 3 X 3 . Nach einem bekanntwen Lehrsatz aus der AGULA existiert die Lösung von ( 6a-c ) genau dann, wenn auch die erweiterte KM diesen Rang 2 hat - im allgemeinen wäre er ja 3 . Hier geht es gut; der erste Spaltenvektor lautet ( 2 | 2 | 2 ) und der dritte auf der rechten Seite ( 1 | 1 | 1 )
