Maximales Volumen ermitteln für eine nach oben offene Schachtel?

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Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 16cm und der Breite 10cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?

ich denke das x soll die höhe des quaders darstellen aber wie berechne ich das und wie das maximale volumen?

 

wäre froh über eine antwort:)
Gefragt 10 Okt 2012 von Gast jf1155

3 Antworten

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Beste Antwort

Ich zeichne mal ein kleines Bild dazu, dann wird das klarer:

Die blauen Flächen werden herausgeschnitten und der Karton an den gestrichelten Linien geknickt.

Die Grundfläche hat also die Maße (16-2x)*(10-2x)

Die Höhe enspricht der Breite der "Seitenlappen", die hochgeklappt werden, ist also x.

Damit lautet die Formel für das Volumen:

V(x) = x*(16-2x)*(10-2x)

V(x) = (16x-2x2)*(10-2x)

V(x) = 10*(16x-2x2) - 2x*(16x-2x2)

V(x) = 160x - 20x2 - 32x2+4x3

V(x) = 4x3-52x2+160x

 

Um das Extremum zu bestimmen, muss V'(x) = 0 gesetzt werden:

V'(x) = 12x2-104x+160

0 = 12x2-104x + 160 | :12

0 = x2 - 26/3 x + 40/3

 

Lösbar z.B. mit der pq-Formel:

x1/2 = 13/3 ± √(169/9 - 120/9)

x1/2 = 13/3 ± √(49/9)

x1/2 = 13/3 ± 7/9

x1 = 20/3

x2 = 6/3 = 2

 

Um festzustellen, an welcher Stelle das Maximum liegt, kann die zweite Ableitung bestimmt werden. Für die Maximalstelle xmax muss V''(xmax)<0 gelten.

V''(x) =24x -104 = 4*(6x-26)

V''(x1) = 4*(6*20/3-26) = 4*(60-26) = 4*34 > 0 !

V''(x2) = 4*(6*2-26) = 4*(18-26) = -4*8 < 0 !

Also ist x2=2 die Maximalstelle.

 

Der Maximalwert lautet

V(2) = 2*(16-2*2)*(10-2*2)

V(2) = 2*(16-4)*(10-4)

V(2) = 2*12*6 = 12*12 = 144

Beantwortet 10 Okt 2012 von Julian Mi Experte X

Falsch:  V''(x2) = 4*(6*2-26) = 4*(18-26) = -4*8 < 0 !

Richtig:  V''(x2) = 4*(6*2-26) = 4*(12-26) = -4*14 < 0 !

danke danke danke

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Einheit cm.

x wird also die Höhe der Schachtel. 

Der Boden misst nun noch (16-2x)*(10-2x). Zeichne das auf, wenn das jetzt zu schwierig ist im Kopf.

Das Volumen V ist Grundfläche mal Höhe und hängt von x ab.

V(x) = (16-2x)*(10-2x)*x

Das ist (ausmultipliziert) ein Polynom 3. Grades. Und der x-Wert des Hochpunktes ist das gesuchte x. Wenn du zum Schluss x in V(x) einsetzt, bekommst du das maximale Volumen. Ableiten und 0-setzen kannst du bestimmt selber. Es ist einfach wichtig, dass du zuerst sorgfältig ausmultiplizierst. 

Gemäss Plot sollte da knapp 150 cm3 rauskommen. Für x wahrscheinlich etwa 5/3 cm.

Volumenfunktion

Beantwortet 10 Okt 2012 von Lu Experte C

Ich komme auf x=2cm und Vmax = 144 cm3.

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Das Volumen V errechnet sich durch V = a*b*c
a = (16 - x) cm
b= (10 - x) cm
c = x cm
(Durch eine skizze kommst du auf die Formeln)
also:

V = (16 - x ) * (10 -x) * x
V = (160 - 16x -10x +x²) *x
V = 160x - 26x² + x³
 

Nun suchst du Maxima von V(x) also erst ableiten:
V'(x) = 3x² -52 x +160
Null setzen:
0 = 3 x² - 52x +160
x1/2 = (52 +- Wurzel( 2704 + 1920)) / 6 = (52 +- Wurzel(4624)) / 6 = 52 / 6 +- 68 / 6

und so weiter, der Rest sollte klar sein

Beantwortet 10 Okt 2012 von Gast hj2266

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