Kann man bei der Partiellen Integration umstellen? Integral x*lnx =Integral lnx*x?

Question

Stimmt das?

Beispiel:

∫x*lnx dx = ∫lnx*x

∫lnx*x= [lnx*(1/2)x^2]-∫(1/x)*(1/2)x^2

=lnx(1/2)x^2-∫1/2 *x dx

=((1/2) x^2 )lnx-((1/4)x^2)

 

∫x*lnx dx= [x*(lnx-1)]-∫1*x(lnx-1)

= weiß nicht mehr weiter, ich bin sehr verwirrt.

laut wolfram alpha kommt =(1/4)*(x^2)*(-1+2log(x))

ist das Ergebnis von wolfram alpha identisch mit 

 (1/4)*(x^2)*(-1+2log(x)) = ((x^2)/2)*lnx-((x^2)/4) weil dann ist es das gleiche wie oben 

ich sitze nun 2 Stunden davor. Ich bin voll durcheinander.

Answer 1

Ja klar. Aber brauchst du das hier?

∫ u * v = [U * v] - ∫ U * v'

∫ x * ln(x) dx
= [1/2*x^2 * ln(x)] - ∫ 1/2*x^2 * 1/x dx
= [1/2*x^2 * ln(x)] - ∫ 1/2*x dx
= 1/2 * x^2 * ln(x) - 1/4 * x^2
= x^2 * (ln(x)/2 - 1/4)
= 1/4 * x^2 * (2 * ln(x) - 1)

Hinweis: Wolframalpha schreibt log(x) für ln(x). Das nervt mich auch oft. Da gewöhnt man sich aber dran.

Comments

achso die letzten 2-3 Schritte habe ich nicht gemacht.

danke

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Eigentlich braucht man die auch nicht machen. Es ist nur zweckmäßig, weil du ja meist wissen moechtest wo die Ableitung Null wird und dazu braucht man sie eh faktorisiert. Aber meist mache ich das tatsächlich erst, wenn ich die Funktion gleich Nullsetze.