Auch, wenn die Frage schon acht Jahre alt ist und recht unverständlich gestellt wurde: Vielleicht interessiert es ja noch jemanden. Daher hier eine vollständig vorgerechnete Lösung:
1. Schritt: Substitution auf den Arbeits-, Stütz-, Entwicklungs- oder Ruhepunkt (je nach Sprechweise), also auf den Punkt, um den die Taylor-Entwicklung erfolgen soll:
\( u=u_0+Δu; \quad \dot{u}=\dot{u_0}+\dot{Δu}; \quad \ddot{u}=\ddot{u_0}+\ddot{Δu} \\ p=p_0+Δp; \quad \dot{p}=\dot{Δp} \)
Anmerkung 1: In der Aufgabe wird der Arbeitspunkt mit Sternchen geschrieben. Ich bevorzuge hier die Index-Schreibweise mit der nachgestellten Null.
Anmerkung 2: Wenn von einem Ruhepunkt die Rede ist, wird damit meistens gemeint, dass sich das durch die Differentialgleichung beschriebene System dort in Ruhe befindet. Das heißt dann, dass beide Funktionen (hier u und p) zeitlich konstant sind. In einem Ruhepunkt fallen dann alle Ableitungen weg.
Anmerkung 3: Die Namen der Variablen sind hier "Delta-u" usw. Der Ableitungspunkt steht hier stets mittig darüber, damit klar ist, dass es sich nicht um die Abweichung (Delta) der Ableitung (u-Punkt) handelt, sondern um die Abweichung der Ableitung von ihrem Wert am Stützpunkt.
2. Schritt: Beziehung zwischen den Koordinaten des Entwicklungspunktes ermitteln. Dazu den Punkt selber in die Dgl. einsetzen. Weil wir uns im Entwicklungspunkt selbst befinden, sind die Abweichungen \(Δu\) und \(Δp\) von diesem Punkt Null und wir setzen nur die Null-Werte ein:
\( a \cdot \dot u_0 \cdot \ddot u_0 - 4 \cdot u_0^2 + 25 u_0 = 2 \cdot c \cdot \dot p_0 + p_0 \)
3. Schritt: (Ggf. mehrdimensionale) Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ableitung. Dabei sind \(u\), \(p\) und alle ihre Zeitableitungen die Variablen nach denen jeweils partiell abzuleiten ist.
Zur Erinnerung: \( z(x,y)=z(x_0,y_0)+\frac{\partial z}{\partial x} \bigg \vert_{x0,y0} \cdot Δx + \frac{\partial z}{\partial y} \bigg \vert_{x0,y0} \cdot Δy + ...\),
also: Erst der Funktionswert am Stützpunkt und dann noch dazu für jede Variable die partielle Ableitung nach der betreffenden Variablen (d. h. die Steigung in dieser Richtung), multipliziert mit der Abweichung vom Stützpunkt in Richtung der Variablen.
Das liefert für den Term \(a \cdot \dot u \cdot \ddot u \) den Ausdruck \( a \cdot \ddot u_0 \cdot \dot{\Delta u} + a \cdot \dot u_0 \cdot \ddot {\Delta u} \)
Nämlich nach der Produktregel erst nach dem ersten Faktor (\(\dot u\)) abgeleitet und den zweiten (\(\ddot u\)) als Konstante betrachtet. Dabei ist \( \frac{\partial \dot u}{\partial \dot u}=1 \), so dass nur die Konstante \( \ddot u \) übrig bleibt. Hiervon wird der Wert am Stützpunkt genommen, also \( \ddot u_0 \), und mit der Abweichung in Richtung \( \dot u \), also \( \Delta {\dot u} \), multipliziert. Und dann analog für den zweiten Teil der Produktregel.
Bei allen weiteren Termen haben wir nur eine Variable, nach der abzuleiten ist. Bei \(4 \cdot u^2 \) bekommen wir \( 4 \cdot \frac{\partial u^2}{\partial u}=4 \cdot 2u \). Das hat am Stützpunkt den Wert \(8u_0 \), den wir noch mit \( \Delta u \) multiplizieren müssen. Die übrigen Terme bedürfen wohl keiner weiteren Erläuterung.
Das liefert insgesamt \( a \cdot \ddot u_0 \cdot \dot{\Delta u} + a \cdot \dot u_0 \cdot \ddot {\Delta u} - 8u_0 \cdot \Delta u + 25\Delta u = 2 \cdot c \cdot \dot{\Delta p} + \Delta p \), wie in der Lösung angegeben.
Letzte Anmerkung:
Man könnte es sich auch komplizierter als notwendig machen und so verfahren, wie es wohl in mancher Vorlesung gelehrt wird. Nämlich die Substitutionen aus dem ersten Schritt überall in die gegebene Differentialgleichung einsetzen.
Dann erhielte man z. B. für den Term \(a \cdot \dot u \cdot \ddot u \) den Ausdruck \(a \cdot (\dot{u_0}+\dot{Δu}) \cdot (\ddot{u_0}+\ddot{Δu}) \). Das kann man ausmultiplizieren und erhält dann vier Summanden. Der erste ist die Konstante \( a \cdot \dot{u_0} \cdot \ddot{u_0} \), der letzte ist \( a \cdot \dot{\Delta u_0} \cdot \ddot{ \Delta u_0} \).
Wenn man das für die gesamte gegebene Differentialgleichung macht, erhält man eine längliche Gleichung, die noch einige weitere Glieder besitzt, die entweder ganz und gar konstant sind oder ein Produkt von Delta-Abweichungen enthalten.
Die konstanten Glieder sind zusammengenommen nichts anderes als die im zweiten Schritt erhaltene Beziehung zwischen den Koordinaten des Stützpunktes. Wenn man die Gleichung aus Schritt zwei von der länglichen Gleichung subtrahiert, sind sie allesamt verschwunden. (Hierauf zielte wohl die ursprüngliche Frage, wo p(AP) geblieben sei.)
Die Glieder mit mehreren Deltas kann man getrost vergessen, denn wenn ein Delta eine sehr kleine Größe ist \( |\Delta a| \ll 1 \) (das ist eine Voraussetzung bei der Linearisierung), dann ist ein Produkt von zwei Deltas noch viel kleiner: \( |\Delta a| \cdot |\Delta a| \lll 1 \).
Um all die überflüssigen Gleider gar nicht erst zu bekommen, ist es angebracht, so vorzugehen, wie ich es am Beginn von Schritt drei beschrieben habe.
Allerletzte Anmerkung:
Die Antwort auf die Frage, warum nicht alle Terme mit \( \Delta u \) multipliziert werden, ergibt sich zwingend, wenn man bei der Taylorableitungen korrekt vorgeht: Es wird jeweils mit der Abweichung der Variablen multipliziert, nach der man gerade partiell abgeleitet hat. Und das ist nicht immer \( \Delta u \).
