Wahrscheinlichkeits-Problem Skat

Question

Scenario

Ein Skatspiel wird nach gründlichem Mischen verteilt. Jeder der drei Spieler erhält 10 Karten,

Spieler A gewinnt das Reizen und nimmt den Skat auf, er hält 6 von 11 Trumpfkarten.

Frage:
a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden anderen Spieler alle 5 übrigen Trumpkarten hat?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Verteilung der Trumpfkarten zwischen den Gegnern 4 zu 1 ist?


Ich bin mir nicht sicher ob mein Lösungsanssatz richtig ist und würde mich über Hilfe freuen.

Meine Lösungsidee für a)

Wahrscheinlichkeit, das ein Spieler kein Trumpf bekommt:
15/20 * 14/19 * 13/18 * 12/17 * 11/16 * 10/15 * 9/14 * 8/13 * 7/12 * 6/11 = 0,01625 / 1,6%

Für b) habe ich leider keine Idee

Answer 1

diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der hypergeometrischen Verteilung berechnen, siehe  https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung#Definition .

Mit den Bezeichnern von Wikipedia ist \( N = 20 \), \( M = 5 \) und \( n = 10 \).

Für Aufgabe a) ist die Wahrscheinlichkeit

\( P(X=0\ \text{oder}\ X=5) = h(k = 0 | N; M; n) + h(k = 5 | N; M; n) \)

mit \( h(k | N; M; n ) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \).

Ausgerechnet ergibt sich also

\( P(X=0\ \text{oder}\ X=5) = \frac{\binom{5}{0} \binom{15}{10}}{\binom{20}{10}} + \frac{\binom{5}{5} \binom{15}{5}}{\binom{20}{10}} \)

\( = \frac{1 \cdot 3003}{184756} + \frac{1 \cdot 3003}{184756} \)

\( = \frac{2 \cdot 3003}{184756} \approx 0.0325 = 3.25\ \%\).

Für Aufgabe b) gilt derselbe Ansatz. Es ist

\( P(X=1\ \text{oder}\ X=4) = \frac{\binom{5}{1} \binom{15}{9}}{\binom{20}{10}} + \frac{\binom{5}{4} \binom{15}{6}}{\binom{20}{10}} \)

\( = \frac{5 \cdot 5005}{184756} + \frac{5 \cdot 5005}{184756} \)

\( = \frac{2 \cdot 5 \cdot 5005}{184756} \approx 0.2708 = 27.08\ \%\).

Dies löst meiner Meinung die Aufgabe. Es ist sicher hilfreich, die Rechenschritte zum Verständnis auch selbst noch einmal durchzuführen.

Mister

PS: Einen Rechner für den Binomialkoeffizienten findet man im Internet zum Beispiel unter  http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/binkoeff1.htm .

Answer 2

Du musst für b nur eine Wahrscheinlichkeit abaendern. Also für diesen Zug die verfuegbaren Trumpfkarten als Anzahl nehmen. Da man an 10 Stellen diesen Zug ersetzen koennte, musst Du die erhaltene Wahrscheinlichkeit noch mal 10 nehmen.

Beim Baumdiagramm hast Du quasi 10 Wege mit genau einer Karte auszukommen. Da die Wahrscheinlichkeit für jeden einzeln gleich ist, kann man hier erkenn:

P{ Trumpf als erste gezogen } = P{ Trumpf als letztes gezogen }

$$ \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 }{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot12 \cdot 11 } = \frac{5 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot12 \cdot 11 }$$

Bei 2 Trumpfkarten muesstest Du die entsprechende Wahrscheinlichkeit nicht mit \( 10 = \binom{10}{1} \) sondern mit \( \binom{10}{2} \) multiplizieren.

Edit: Beide muessen noch einmal mit 2 multipliziert werden, wie schon richtig kommentiert wurde. Die Moeglichkeit der Spieler hat 0 bzw. 1 Trumpf muessen auch beruecksichtigt werden.

Gruss

Answer 3

Ich denke da an hypergeometrische Verteilung

a)  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer der beiden anderen Spieler alle 5 übrigen Trumpkarten hat? 

comb(5, 5) * comb(15, 5) / comb(20, 10) = 21/1292 = 1.63%

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Verteilung der Trumpfkarten zwischen den Gegnern 4 zu 1 ist? 

comb(5, 4) * comb(15, 6) / comb(20, 10) = 175/1292 = 13.54%

comb(n, k) ist dabei der Binomialkoeffizient.

Comments

Diese Wahrscheinlichkeiten (\( 1.63\ \% \) und \( 13.54\ \% \)) müssen mit \( 2 \) multipliziert werden, da die Ereignisse für zwei Gegenspieler eintreten können.

In der hier angegebenen Form gelten sie nur für einen (beliebigen) der beiden Gegenspieler.