Umformen der Ungleichung 2x^2+x<1: Von 2x^2+x-1<0 zu (2x-1)(x+1)<0?

Question

also ich habe hier 2x²+x<1

als lösung dann 2x²+x-1<0 und dann (2x-1)(x+1)<0

Meine Frage ist nun wie ich vorgehen muss um auf das ergebnis mit den Klammern zu kommen bzw. ist da eine schritt für schritt anleitung so dass ich bei allen quadratischen funktionen/gleichungen weiß wie ich das auf dieser form bringen kann?

Answer 1

als lösung dann 2x²+x-1<0 und dann (2x-1)(x+1)<0

Meine Frage ist nun wie ich vorgehen muss um auf das ergebnis
mit den Klammern zu kommen bzw. ist da eine schritt für schritt anleitung
so dass ich bei allen quadratischen funktionen/gleichungen weiß
wie ich das auf dieser form bringen kann?

Du hast die Funktion
f1 ( x ) = 2 * x^2 + x - 1
und möchtest diese faktorisiieren zu
f2 ( x ) = ( x + a ) * ( x + b )

Es wird angenommen das f1 ( x )  Nullstellen hat:
Diese werden berechnet ( a,b,c-Formel, pq-Formel, quadratische Ergänzung )
2 * x^2 + x - 1 = 0  | : 2
x^2 + 1/2 * x - 1/2 = 0  | quadratische Ergänzung
x^2 + 1/2 * x + (1/4)^2 = 1/2 + 1/16
( x + 1/4 )^2 = 9/16 | √
x + 1/4 = ± 3/4

x = 1/2
und
x =  -1

g ( x ) = ( 1/2 + a ) * ( -1 + b ) = 0
Satz vom Nullprodukt
1/2 + a = 0  => a =-1/2
-1 + b = 0 => b = 1

( x - 1/2 ) * ( x + 1 )

Diese Funktion hat dieselbe Nullstellen wie x^2 + 1/2 * x - 1/2 aber ist nicht gleich
der Ausgangsformel  2 * x^2 + x - 1

~plot~  2 * x^2 + x - 1 ;  ( x - 1/2 ) * ( x + 1 ) ~plot~

Damit die Funktion deckungsgleich mit der Ausgangsformel wird
müssen wir den 1.Rechenschritt ( : 2 ) wieder  umkehren

( x - 1/2 ) * ( x + 1 ) = 0  | * 2
( x - 1/2 ) * ( x + 1 ) * 2 = 0

f2 ( x ) = ( 2x - 1 ) * ( x + 1 )
auch möglich
f2 ( x ) = ( x - 1/2 ) * ( 2x + 2 )

Das Verfahren funktioniert immer.

Comments

Also kann ich es nicht ohne quadratische ergänzung bzw. nulstellen aufstellen? Wenn ich die quadratische ergänzung benutze habe ich die lösung ja schon :/

trotzdem danke

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Wenn ich die quadratische ergänzung benutze habe ich die
lösung ja schon :/

Nein.

Du hast die Nullstellen.
Im Graphen siehst du die
- Ausgangsgleichung ( blau )
und die
- faktorisierte Form ( rot ) über die pq-Formel oder quadratische Ergänzung.

Diese sind nicht identisch weil ich zuvor einmal durch 2 teilen mußte.

Vielleicht probierst du an der Ausgangsgleichung die sogenannte
Mitternachtsformel oder a,b,c Formel. Vielleicht liefert das Verfahren
direkt die richtige Lösung.

Ansonsten frag einmal beim anderen Antwortgeber unknown nach.
Dessen Antwort ist ja wesentlich kürzer.

mfg Georg

Answer 2

Hi,

Du kannst einfach den "Satz vom Nullprodukt" anwenden, also Faktorweise nullsetzen:

2x-1 = 0

x = 1/2

und

x+1 = 0

x = -1

Nun hast Du die beiden Nullstellen. Du musst nun überprüfen, ob der Zwischenraum gesucht ist oder die Intervalle außerhalb. Dazu einfach eine Punktprobe machen. Optimalerweise mit x = 0 -> y = -1, was < 0 ist.

Folglich haben wir als Lösungsmenge das Zwischenintervall, also das Intervall zwischen den beiden Nullstellen.

Grüße

Comments

Aber wie kommt man auf 2x-1 und x+1?

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Habe ich soeben versucht zu erklären.

Nimm schlimmstenfalls das Resultat von georgborn

" ( x - 1/2 ) * ( x + 1 ) " Vergleich mit "  2 * x² + x - 1 "

und stelle fest, dass links ein Faktor 2 fehlt.

Daher 2( x - 1/2 ) * ( x + 1 ) = (2*x - 2*(1/2))*(x+1) = (2x - 1)(x+1) 

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Hallo Lu,

Nimm schlimmstenfalls das Resultat von georgborn

So schlimm ist mein Lösungsvorschlag nicht.

Meine Antworten fallen  " zum Nachvollziehen " manchmal
etwas umfangreicher aus. In aller Kürze kann man auch angeben

Die allgemeine quadratische Gleichung
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c zu null setzen

a * x^2 + b * x + c = 0
a,b,c  Formel, pq-Formel oder quadratische Ergänzung anwenden
zum Berechnen von x1 und x2
x1 = -1
x2 = 1/2

Die faktorisierte Form ist
a * x^2 + b * x + c = ( x - x1 ) * ( x - x2 ) * a
Finito.

mfg Georg

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"Schlimmstenfalls" ist schon so gemeint.

An einer Prüfung ist es ein klarer Zeitgewinn, wenn man 2x²+x-1 = (2x-1)(x+1) gleich hinschreiben kann.

 Ich habe in meiner Antwort unter "beachte" etwas ausgeführt, was schlimme Fälle sind: Wurzeln und Brüche, die man nicht raten kann. Dann muss man deine Methode nehmen. Das ist das Einzige, was immer geht. 

Answer 3

2x²+x-1 zu (2x-1)(x+1)?

Rate systematisch.

Ansatz

(..... ±  .......)(.....± .......)           | nun ist klar, dass rot*rot = -1 und schwarz * schwarz = 2x^2.

Die Mischung von rot und schwarz muss dann noch x geben.

Also: 1*(-1) und 2x * x

(2x ± 1)(x ± 1) 

Weil -2x + x = -x , folgt definitiv

(2x+1)(x-1) 

Beachte: Das geht nur, wenn die Zahlen so "schön" sind wie hier. Irgendwelche Wurzeln und Brüche wirst du auf diese Weise kaum erraten können. Dann bleibt nur die pq-Formel oder die abc-Formel für quadratische Gleichungen. (vgl. Antwort von georgborn).