Gleichung x^2+y^2=r^2 in Polarform umwandeln

Question

Ich habe folgendes heraus:

$$ r^2\cos^2\phi+r^2\sin^2\phi=r^2~\leftrightarrow~\cos^2\phi+\sin^2\phi=1 $$

aber das erscheint mir falsch.

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Warum erscheint es dir falsch?

Answer 1

in  x² + y² = r²  ist mit r nicht die Polarkoordinate r gemeint, sondern der feste Radius a eines Kreises.

x² + y² = a²        in kartesischen Koordinaten

⇔  ( r • cos(φ) )² + ( r • sin(φ) )² = a²   in Polarkoordinaten

⇔    r ² • cos(φ)² +  r² • sin(φ)² = a²  

⇔    r² • ( cos(φ)² + sin(φ)² ) = a²  

⇔    r² = a²      wegen cos(φ)² + sin(φ)² = 1

⇔    r = a   in Polarkoordinaten

[ das ist eigentlich auch ohne Umformungen klar, weil - unabhängig von φ - genau die Punkte auf dem Kreis mit der Gleichung x² + y² = a² liegen, deren r-Koordinate = a ist ]

Gruß Wolfgang