Widerspruchsbeweis: Exponentialfunktion nicht gleichmäßig stetig

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe:
Sind folgende Funktionen gleichmäßig stetig? Beweisen sie ihre Behauptung.
g: IR →]0, ∞[      x→e^x
Jetzt wollte ich fragen, ob mein Beweis stimmt.
Behauptung: g ist nicht glm. stetig.
Beweis (indirekt): Nehme an, g sei stetig. Dann muss gelten:
∀ε>0  ∃δ>0  ∀x,y ∈ IR :  |x - y| < δ  => |g(x) - g(y)| < ε

Sei ε=1. Betrachte den Fall für x=log(3), y=log(1).
(Anmerkung: Mit log() meine ich den natürlichen Logarithmus.)
Dann muss gelten:|e^log(3) - e^log(1)| < 1
Dies führt zu einem Widerspruch!
=> g ist nicht gleichmäßig stetig.

Answer 1

Du musst doch zeigen, dass es kein delta gibt mit der entsprechenden

Bedingung.   Vielleicht ist ja       | log(3)-log(1) | gar nicht kleiner delta.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich gebe zu, dass ich mich generell mit Beweisen noch etwas schwer tue...

Wäre es denn ein ein korrekter Beweis, wenn ich y = delta wähle und das x dann nach unendlich konvergieren lasse? Dann gäbe es ja kein delta (sofern delta nicht auch gegen unendlich konvergiert), für das | x - y | < δ

Answer 2

nein tut er nicht,

 Betrachte den Fall für x=log(3), y=log(1). 

Wozu?

Dann muss gelten:|e^log(3) - e^log(1)| < 1 

Dies führt zu einem Widerspruch! 

Tut es nicht, jedenfalls nicht zu der eigentlichen Behauptung die widerlegt werden soll.

Bleiben wir doch bei \(\varepsilon = 1\). Nach der Annahme gibt es ein \(\delta >0\) so dass

\( |e^x-e^y| < 1 \) falls \(|x-y| < \delta\) gilt. (\(x,y \in ]0, \infty [ \))

Setze nun bspw. für ein \(c\) mit \( 0 < c < \delta\) für \(y= x+c\).

Gilt dann tatsächlich \( |e^x-e^y| < 1 \) für alle \( x \in ]0, \infty [ \)?

Gruß

Comments

Vielen Dank,ich glaube so langsam habe ich das Prinzip verstanden :)

Wenn y = x + c wobei 0 < c < δ, dann gilt:

| x - x - c | < δ  <=>  c < δ  (was ja per Definition von c stimmen muss)

Also muss auch gelten:

|e^x - e^x+c| < 1    <=>    e^x |1 - e^c| < 1

Dies führt jedoch zu einem Widerspruch, da die linke Seite der Ungleichung für x→∞ gegen unendlich konvergiert und somit nicht kleiner als 1 ist.

Stimmt der Beweis nun? :)

Gruß

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Ich würde es eher so ausdrücken:

Dies führt jedoch zu einem Widerspruch, da die linke Seite der Ungleichung für x→∞ gegen unendlich divergiert und somit nicht für alle x aus dem Definitionsbereich kleiner als 1 ist.

:)

Übrigens: Den Teil

"Wenn y = x + c wobei 0 < c < δ, dann gilt:

| x - x - c | < δ  <=>  c < δ  (was ja per Definition von c stimmen muss)!"

kannst du weglassen, das ist eher die Begründung dafür, warum y überhaupt so gewählt wurde.

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Vielen Dank, du hast mich gerettet! :) Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag!