wie kommt man am schnellsten von den Eigenwerten zu den Eigenvektoren?

Question

Es geht um folgende Beispielaufgabe:

A-λE=  ⌈ 1-λ       2        ⌉

             ⌊ -4        -5-λ  ⌋

Eigenwert λ1= -1

Eigenwert λ2=-3

Nun muss ja für die Eigenvektoren gelten:

(A-λ1) *v1 =0

In der Musterlösung wurde ohne Rechnung einfach der Eigenvektor [1 ,1] angenommen... Ich behaupte aber,  dass jeder Vektor [x,y] eine Lösung ist, solange x=y ist....

wie kommt man generell am schnellsten auf die Eigenvektoren?

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Es geht um folgende Beispielaufgabe:

A-λE=  ⌈ 1-λ       2        ⌉

             ⌊ -4        -5-λ  ⌋

Eigenwert λ1= -1

Eigenwert λ2=-3

Nun muss ja für die Eigenvektoren gelten:

(A-λ1) *v1 =0

In der Musterlösung wurde ohne Rechnung einfach der Eigenvektor [1 ,1] angenommen... Ich behaupte aber,  dass jeder Vektor [x,y] eine Lösung ist, solange x=y ist....

wie kommt man generell am schnellsten auf die Eigenvektoren?

Answer 1

wenn du in deine Matrix A - λ • E     λ = -1   einsetzt und dann das LGS

(A - λ • E) • \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)  löst,

erhältst du  die Lösungen  \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)  = c • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)   mit c∈ℝ.

Das ist der Eigenraum zum Eigenvektor \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Alle Vektoren dieser Lösungsmenge sind Eigenvektoren.

Mit λ = -3 analog

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wenn [a, b] ein Eigenvektor ist dann ist auch ein vielfaches also c * [a, b] ein Eigenvektor.

Du setzt einfach die Eigenwerte ein

[1 - k, 2; -4, -5 - k]

mit k = -1

[2, 2; -4, -4]

Hier sollte aber [1, -1] ein Eigenvektor sein.

mit k = -3

[4, 2; -4, -2]

Hier sollte [1, -2] ein Eigenvektor sein.