Gleichung dritten Grades mit Variable UND Parameter lösen!?

Question

ich komme bei folgender AUfgabe nicht weiter:

Es geht um einer Eigenwert Berechnung in Abhängigket von a. Nun habe ich die Determinante berechnet, womit ich bei folgender Formel lande:

-x^3+3*x^2-2*x+x*a+a   bzw. umgestellt:  x^3 -3*x^2-(-2+a)*x-a

Wie komme ich nun auf die Eigenwerte/Nullstellen der Formel? x ausklammern? Polynomdivision?

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe!!

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Willst du nur die reale Nullstelle in Abhängigkeit von a wissen, oder alle drei?

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Ich möchte alle drei berechnen

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Rauskommen wird das:

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Ich kenne die Lösungen, sie sind -1, sqrt a und -sqrt a.

Mir ist nur einfach nicht klar, wie man dort hin kommt

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Sorry, wenn ich bei dieser Gleichung deine drei Lösungen für x einsetzte, komme ich nicht auf Null.

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Hm, komisch. Dann habe ich mich vielleicht verrechnet. Aber die zu lösende Formel wäre ja trotzdem ähnlich...

Die Matrix, deren Eigenwerte bestimmt werden sollen ist folgende:

   1   0   1

   2   -1   2

(a-1) 0   -1

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Deine Eigenwerte stimmen für die jetzt genannte Matrix.

Answer 1

Hier hilftt im ersten Schritt nur ein Näherungsverfahren.

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Warum?

                                                                  .

Answer 2

$$\left\vert\begin{matrix}1-x&0&1\\2&-1-x&2\\a-1&0&-1-x\end{matrix}\right\vert=-x^3-x^2+ax+a=(1+x)(a-x^2).$$

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Ahh, okay, ohne das "-2x" ist es natürlich leichter zu sehen.. Dankeschön :)

Answer 3

Bei deiner Determinante war was falsch.

Det ( M - x*E) = -x^3 -x^2 +a*x +a