Polynom mit komplexen Koeffizienten. ƒ(x) = x^2 + (1-5i) * x -12 ∈ℂ[x]

Question

Gegeben ist das quadratische Polynom :

ƒ(x) = x² + (1-5i) * x -12  ∈ℂ[x]

a.) Zeigen sie das die Diskriminante dieser Gleichun gleich (5-i)² ist.

Das habe ich geschafft.

b.) Berechnen sie die beiden Nullstellen von f.

Hier wollte ich die Mitternachtsformel anwenden, habe aber meine Probleme mit der Komplexen Zahl unter der Wurzel. Wäre euch sehr dankbar wenn mir das einer halbwegs vormachen könnte.

c.) Bestimmen sie die Polarkoordinaten der multiplikativen Inversen der beiden Nullstellen.

Wenn ich b.) gelöst hätte, könnte ich dann die Nullstellen als komplexe Zahl in ihrer Polarkoordinatenform angeben und dann nach der Gleichung: n₁ * z₁ = 1, auflösen? (n₁ = Nullstelle, z₁ das inverse)

Vielen dank schonmal !

Answer 1

Du hast doch die abc-Formel

x_(1,2) = 1/(2a)  * (- b ± √(Diskriminante))

Also

x_(1,2) = 1/2 * (-(1-5i) ± (5-i) )

Nun mit + und - getrennt fortfahren und weiter vereinfachen.

Hoffe, das klappt dann. Zur Kontrolle kannst du ja die gefundenen Zahlen in der gegebenen Gleichung einsetzen.

Bei c) kannst du wie geplant vorgehen. Kontrolle der Resutate mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-3%2B3+i)+*+x+%3D+1

Alternative

x * (-3 + 3i) = 1          | : Klammer

x = 1 / ( -3 + 3i)           | erweitern mit 3. Binom

x = (-3 -3i)/((-3 + 3i)(-3-3i))

= -3(1+i)/( 9 - (3i)^2)

= -3(1+i) / ( 9 - (-9))

= -3(1+i)/18

= -(1+i) / 6

= -1/6 - i/6

Comments

Hatte was die b) angeht wohl ein Brett vorm Kopf :)

Answer 2

Ich nehme an, du meinst die Gleichung    x² + (1-5i) * x -12 = 0

Diskriminante:  (1-5i)² / 4 + 12  = 6 - 5·i/2

(5 -i)² = 24 - 10i  ≠ Diskriminante.

 x² + (1-5i) * x -12 = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p = 1-5i ; q = -12

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

……

 x₁ =  - √(√146/2 + 11/2)  -  i  • √(√146/2 - 11/2)  ,

 x₂ =     √(√146/2 + 11/2) +  i • √(√146/2 - 11/2) 

Bist du sicher, dass deine Angaben richtig sind?

Gruß Wolfgang

Comments

Hi Wolfgang,

Danke für die zügige Antwort. Die Aufgabenstellung ist so richtig :)

Laut Wikipedia ist die Diskriminante der Teil in der Mitternachtsformel der unter der Wurzel steht : b²-4ac.

In unserem Fall: a = 1, b = (1-5i) und c = -12

Das habe ich in die obige Formel eingesetzt:

(1-5i)²-4*1*(-12)

=(1-5i)(1-5i) + 48       //Mutliplikationsformel: (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)

=-24 -10i +48

=24 - 10i  = Diskriminante

Dann von der anderen Seite:

(5-i)² 

= (5-i)(5-i) = (5*5 -(-1)(-1)) +(5*(-1)+(-1)*5) = 24 -10i

Somit passt sich das mit der Diskriminante eigentlich^^

Vielleicht hilft dir das weiter in der Sache mir zu helfen :)