Ermittle die quadratische Funktion

Question

Der Wasserstrahl einer Bewässerungsanlage tritt in einer Höhe von 1 m über dem Erdboden aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m.

a) Ermittle jene quadratische Funktion, die die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt.

b) Berechne, nach wie vielen Metern Entfernung das Wasser auf den Erdboden auftritt.

Answer 1

Du kennst den Scheitelpunkt S(3 | 2.5) und einen weiteren Punkt P(0 | 1)

Öffnungsfektor: 

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 = (1 - 2.5) / (0 - 3)^2 = - 1/6

Scheitelpunktform

h(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy = - 1/6 * (x - 3)^2 + 2.5

Skizze

~plot~- 1/6 * (x - 3)^2 + 2.5;[[0|9|-1|6]]~plot~

b)

h(x) = 0

- 1/6 * (x - 3)^2 + 2.5 = 0 --> x = 6.873 m

Answer 2

Austritt bei 1 auf der y-Achse. Höchster Punkt ( 3 ; 2,5 ) also

f(x) = a * ( x-3)^3 + c

Punkte (0;1) und ( 3 ; 2,5 ) einsetzen gibt

a*9+c=1  und   a*0+c=2,5

a*9+2,5 =1  und       c=2,5

a*9 = - 1,5   und       c=2,5

a = - 1/6   und       c=2,5  

f(x) = -1/6 * (x-3)^2 + 2,5